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参考答案
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1 、 B ； 2 、 B ； 3 、 C ； 4 、 C ； 5 、 D ； 6 、 A.
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7 、 6 ； 8 、 4 ； 9 、 5:4 ； 10 、 ； 11 、 ； 12 、 ； 13 、一定相似；14 、 ； 15 、 ； 16 、 ； 17 、 ； 18 、 .
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19 ． 解 ：
………………………… 6 分
………………………… 1 分
………………………… 2 分
………………………… 1 分
2 0 ． 解：方法一、 ∵ 四边形 是矩形， 在 上，
∴ ∥ . ………… 1 分
∵ ∴ .
∵ ， ， ∴ ∥
∴ ， . ………… 2 分
∵ ∥ ， ∴ △ A GF ∽ △ A BC .
∴ （相似三角形对应高的比等于相似比） ………… 2 分
由 ， ， 得
∴ ………… 1 分
解得 . ………… 1 分
于是矩形 的面积 .…………2分
定义域是 . …………1分
方法二（简写）：由 ∥ 得 . 同理 . …………2分
∵ ， ∴ . …………1分
∴ ，即 . …………2分
由 ， ， 得 . …………1分
解得 . …………1分
于是矩形 的面积 . …………2分
定义域是 . …………1分
其他方法，请参照评分.
2 1 ． 解：过点 作 ，垂足为 （如图 9 ）
易证四边形 是矩形， . ………………………… 1 分
在 中， ， . ……… 3 分
在 中， ， . ……… 3 分
∴ （米） ……… 2 分
答： 建筑物 的高度是 米． ……… 1 分
22 . 解：（ 1 ）由 可得 . ……… 1 分
∵ ∥ ∥ ， ∴ . ……… 2 分
∵ ， ，∴ ，∴ . ……… 2 分
（ 2 ）方法一、过点 作 的平行线，分别交直线 、
于点 、 （如图 10--1 ） . ……… 1 分
∵ ∥ ， ∥ ∥ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ， . ……… 2 分
在 中， ∥ ，
∴ . ……… 1 分
即 .
解得 . ……… 1 分
方法二、记 与 的交点为 （如图 10-2 ） .
∵ ∥ ， ∴ .
∵ ， ， ，
∴ . 解得 . ……… 2 分
∵ ， ， ，∴ .
∵ ∥ ， . ……… 1 分
∵ ， ， ， ∴ .解得 .……… 2 分
其他方法请参照评分 .
23 ． 解：（ 1 ）如图 11 ， ∵ 、 分别是 △ ABC 的边 、 上的高 ，
∴ . ……1分
又 ∵ ，∴ △ AB E ∽ △ A CF. ∴ . ……2分
∴ ， .
又 ∵ ，
∴ △ ABC ∽ △ A EF . ……2分
（2） 当 是钝角时，（ 1 ）中的结论 依然成立 . ……2分
（ 3 ） ∵ △ ABC ∽ △ A EF ，
∴ ……2分
在 中，
∵ ， ，
∴ . ……2分
∴ . ……1分
24 . 解 （ 1 ）设所求的二次函数的解析式为 （ ） .
因为抛物线 （ ）经过 、 、 三点，
所以 …… 1 分
解这个方程组，得
…… 2 分
所以，所求的二次函数的解析式为 . …… 1 分
（ 2 ） 如图 12-1 ，由 、 可知 点 、 的纵坐标相等，
∴ ∥ . …… 1 分
∴ . …… 1 分
∴ . …… 1 分
∵ 、 ，
∴ . …… 1 分
（3）分两种情况讨论：
①如图12 — 2，若 是 以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形 的一边，由于点 在 轴上，那么 必定也是这个平行四边形的一条边 .
由此可知 ∥ ，因此点 应该在过点 且平行于 轴的直线上，由此可 知点 与点 重合 .
因为 ，所以 .
因为四边形 是平行四边形，所以 ，
故可得 ， …… 2 分
② 如图 12 — 3 ，若 是 以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形 的一条对角线，由于点 在 轴上，那么 依然还是这个平行四边形的一条边，因此依然可以过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ，容易发现这里的点 依然是与点 重合，联结 ，过点 作 的平行线，交 轴于点 .
∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ， .
故可得 ， . …… 1 分
综上所述，点 、 的坐标是 ， 或 ， . …… 1 分
25 ． 解：（ 1 ） ∵ △ ABC 是等边三角形，
∴ ， .
由题意可知 △ A EF ≌ △ D EF ，
∴ ， ， .
∴ . ……………1分
∵ ，
，
∴ .
又 ∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ △ B DE ∽ △ CFD . …………… 1 分
方法 ① ∵ △ B DE ∽ △ CFD ，
∴ .
设 ，则由 知 ， ， ，
， .
设 ，则 .
∴ . …………… 1 分
即 整理，得
解得 ，即 . …………… 1 分
方法 ② ∵ △ B DE ∽ △ CFD ，
∴ （相似三角形的周长的比等于相似比）.
∴ .………………1分
又 ， ， ，
∴ .
解得： . ……………1分
方法 ③ 过点 A 作 ，过点 D 作 （如图 13 — 2 ） ……………1分
设 ， ，依题意易得 ， ， ，
， ， .
在 Rt △ BEM 中， ， ，
在 Rt △ FDN 中， ， ， ，
易证 △ DEM ∽ △ FDN ， . ……………1分
进而可得 ，整理，得
…………………………（1） ……1分
在 Rt △ FDN 中，依据勾股定理可得
…………………………（2）
整理（2），并将（1）代入（2），可得
. 解得 （不合题意，舍去）， .
即 . ……………1分
（2）当 时，如图 13 — 3.
，
. ………1分
过点 作 ，垂足为 .
，
. ………1分
在 中， ， ……………1分
在 中， ， …1分
在 中， . ∴ . …1分
（ 3 ）分两种情况讨论：
① 当以 、 、 为顶点的三角形 与 △ DEF 相似，顶点 、 、 分别与 、 、 对应时，可得 . ∴ ∥ .
∴ ， .
易得 △ AEF 、 △ DEF 、 △ DFC 、 △ DEB 是四个边长相等的等边三角形 . … …1分
∴ . ………… …1分
② 当以 、 、 为顶点的三角形 与 △ DEF 相似，顶点 、 、 分别与 、 、 对应时，可得 .
又 ， ，
∴ . … …1分
易得 △ AEF 、 △ DEF 、 △ DFC 、 △ DEB 四个边长
相等的等边三角形 .
∴ . … …1分
综上所述， 当以 、 、 为顶点的三角形 与 △ DEF 相似时， .… …1分
若没有充分运用已知条件，而是依据直觉发现 “ 当四个小三角形是边长相等的等边三角形时，可满足已知条件 ” ，从而得到 ，可得3分.

备注：本题还有如下副产品，可在讲评试卷时使用.
（4）若点 在直线 上， 折叠 △ ABC ，使得 点 与点 重合 ， 的垂直平分线分别交射线 、 于点 、 . 当 时，求 的长 .
（5）设 ， ，试求 与 之间的函数关系式，写出函数的定义域 .