51问答网 > 已知椭圆C:x^2⼀4+y^2⼀m^2=1(m>0)与直线l:y=-1⼀2x+2相交于两个不同的点A,B.

已知椭圆C:x^2⼀4+y^2⼀m^2=1(m>0)与直线l:y=-1⼀2x+2相交于两个不同的点A,B.

2025-03-09 23:25:15

推荐回答（2个）

回答1：

y=-1/2x+2，得x=-2y+4。

带入椭圆方程，得

(y-2)^2+y^2/m^2=1，

即

(1+1/m^2)y^2-4y+3=0。

因为P是直线与x轴的交点，设直线与椭圆两个交点为A(x1,y1)和B(x2,y2)。

则PA=(4-根号7)向量PB，意味着y1=(4-根号7)y2，

即y1+y2=(5-根号7)y2，y1y2=(4-根号7)y2^2，

即(y1+y2)^2/(y1y2)=(5-根号7)^2/(4-根号7)。

由一元二次方程的韦达定理
y1+y2=4/(1+1/m^2)
y1*y2=3/(1+1/m^2)

即(y1+y2)^2/y1y2=16/3/(1+1/m^2)。

因此可以列方程，

16/3/(1+1/m^2)=(5-根号7)^2/(4-根号7)，

即可解出m，和椭圆C的方程。

1/m^2=(14根号7-32)/3/(5-根号7)^2。

回答2：

下次最好用手机拍题目，