微分方程 y✀✀+y✀=2+sinx 的通解 求过程

y''+y'=0的特征方程r^2+r=0 根为0,-1
对于2，因为0是根，故设y*=Ax,解得A=2
对于sinx，设y*=Acosx+Bsinx，y*‘=-Asinx+Bcosx，y*‘=-Acosx-Bsinx
由-Asinx+Bcosx-Acosx-Bsinx=sinx 解得A=B=-1/2
通解为：y=C1+C2e^(-x)+2x-(1/2)(cosx+sinx)

此为一阶线性常微分方程，一般形式为：
y′+p(x)·y=q(x)
当q(x)=0时，此为齐次方程
当q(x)≠0时，此为非其次方程
对于这种方程，通常有两种解法：公式法和常数变易法
我一般用公式法(比较简单，直接套公式嘛，所以常数变易法就不提了)
公式为：y=e^（－∫p(x)dx）·[C+∫q(x)·e^（ ∫p(x)dx）dx ],C为一般常数
对这道题，有：
y=e^(－∫dx/x)·[C+∫(x²+1)·[e^(∫dx/x)] dx]
=e^(－lnx)·[C+∫(x²+1)·e^(lnx) dx]
=1/x·[C+∫(x²+1)·x dx]
=1/x·[C+∫(x³+x)dx]
=1/x·[C+x^4/4+x²/x]
=C/x+x³/4+x/2 ，C为常数
希望我的解答对你有所帮助