线性代数求对角矩阵

解: |A-λE| =
-λ -1 1
-1 -λ 1
1 1 -λ
c1-c2
1-λ -1 1
λ-1 -λ 1
0 1 -λ
r2+r1
1-λ -1 1
0 -1-λ 2
0 1 -λ
= (1-λ)[λ(1+λ)-2]
= (1-λ)(λ^2+λ-2)
= (1-λ)(λ-1)(λ+2).
所以 A 的特征值为 1,1,-2.
(A-E)X=0 的基础解系为: a1=(-1,1,0)', a2=(1,1,2)'
(A+2E)X=0 的基础解系为: a3=(1,1,-1)'
令 P=(a1,a2,a3)=
-1 1 1
1 1 1
0 2 -1
则P可逆, 且 P^-1AP=diag(1,1,-2).

|A-λE|=|λ -1 1; -1 λ 1; 1 1 λ|=(λ+2)(λ-1)^2
特征方程为：(λ+2)(λ-1)^2=0
特征根为：λ1=-2 λ2=1 λ3=1
对应λ1=-2：[2 -1 1;-1 2 1;1 1 2]X=0 的基础解系：（-1，-1，1）
对应λ2=1 λ3=1：[-1 -1 1;-1 -1 1;1 1 -1]X=0 的基础解系：(-1,1,0);(1,0 ,1)
∴可逆的相似矩阵P为：
[-1 -1 1]
[-1 1 0]
[1 0 1]
化成的对角矩阵为：
[ -2 0 0]
[ 0 1 0]
[ 0 0 1]