I have no time to do sth. 这里的不定式to do sth 是做后置定语修饰time的。
而It's important to do sth 这里的不定式是做表语补足语。It's important doing sth.没有前者常用，一般还是用第一种be adj +to do sth 这是一种固定搭配，对adj（除了修饰人的品质等）都适用。
至于你说的 It's fun doing sth \to so sth There's no need doing sth\to do sth.，语法上都是可以的，但是最常用的还是 have fun doing 和 no need to do.没有为什么，是一种语言习惯吧，像这种表达方式是必须要当做固定搭配记下来的~
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