51问答网 > 设A,B均为n阶矩阵，且AB=BA求证r(A+B)<=r(A)+r(B)-r(AB)

设A,B均为n阶矩阵，且AB=BA求证r(A+B)<=r(A)+r(B)-r(AB)

2025-01-07 23:51:39

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回答1：

这个比较麻烦, 要借助向量空间的维数定理

证明: 记 w1,w2,w3,w4 分别为 A,B,A+B,AB 的行向量组生成的向量空间
易知 w3 包含在 w1+w2 中.
由维数定理 dimw3 <=dim(w1+w2) = dimw1+dimw2-dim(w1∩w2)
即有 r(A+B)<=r(A)+r(B)-dim(w1∩w2).

因为 AB 的行向量可由B的行向量组线性表示
AB=BA 的行向量可由A的行向量组线性表示
所以 w4 包含于 w1∩w2
所以r(AB)=dim(w4)<=dim(w1∩w2)

所以有 r(A+B)+r(AB) <= r(A+B)+dim(w1∩w2) <= r(A)+r(B)