ArcGIS Server是统称；
ArcGIS API for Flex是应用场合的细分；
ArcGIS Server安装时分.net版本，java版本，明显的看语言也能看出是服务器端服务开发采用的，比如.net ADF,java ADF，必须安装ArcGIS Server才能进行服务的开发（和ArcEngine安装其开发包是一个道理）;
客户端服务用API就能满足了，比如flex，javascript，silverlight API；如果你只开发服务功能而地图资源由别人发布的话亦可不安装ArcGIS Server，下个比如agslib-1.3-2009-10-31.swc之类的swf类库嵌进项目中即可开发了；
ArcGIS Server可以把mxd之类的文档发布成地图服务，切瓦片图等；服务端开发是必需要安装的，api客户端服务如果不发布地图可不安装，希望你能明白。。。
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