51问答网 > 证明：1⼀(a-b)^2+1⼀(b-c)^2+1⼀(c-a)^2=(1⼀(1⼀a-b+1⼀b-c+1⼀c-a))^2

证明：1⼀(a-b)^2+1⼀(b-c)^2+1⼀(c-a)^2=(1⼀(1⼀a-b+1⼀b-c+1⼀c-a))^2

2024-12-15 17:52:25

推荐回答（3个）

回答1：

设 a-b=1/x, b-c=1/y, c-a=1/z
问题转化为：
1/x+1/y+1/z=0
证明： x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2
由1/x+1/y+1/z=0 得 yz+zx+xy=0
于是： (x+y+z)^2= x^2+y^2+z^2+2(yz+zx+xy)= x^2+y^2+z^2
所以结论成立。

回答2：

证明：令1/（a-b）=x,1/(b-c)=y,1/(c-a)=z,
则右边=（x+y+z）^2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz
因2xy+2yz+2xz=2（1/（a-b）*（b-c）+1/（c-a）*（b-c）+1/（c-a）*（a-b）)=2(c-a+a-b+b-c)/(a-b)(b-c)(c-a)=0
所以有：右边=左边=x^2+y^2+z^2.

原题目得证！。

回答3：

设a-b=x b-c=y c-a=-（x+y）
代入展开即得
左边不用管右边按完全平方公式
（（1/x+1/y）-1/（x+y））展开