设F(x)=∫(x到x+2π) sinte^sintdt,则F(x)为正数.为什么？

显然F(x)=∫(x到x+2π) sint*e^sintdt =∫(0到2π) sint*e^sintdt
不明白的话对F(x)求导，
得到
F'(x)= sin(x+2π)e^sin(x+2π) - sinx *e^sinx=0，
一阶导数为0，
即F(x)是一个常数，与变量x无关

那么
F(x)=∫(0到2π) sint*e^sintdt
=∫(0到π) sint*e^sintdt + ∫(π到2π) sint*e^sintdt
对于∫(π到2π) sint*e^sintdt，
令t'=t-π，故
∫(π到2π) sint*e^sintdt
=∫(0到π) sin(t'+π)*e^sin(t'+π) dt'
=∫(0到π) -sint' *e^(-sint' ) dt'

定积分与变量无关，
所以
F(x)
=∫(0到π) sint*e^sintdt + ∫(π到2π) sint*e^sintdt
=∫(0到π) sint*e^sintdt - ∫(0到π) sint *e^(-sint) dt
=∫(0到π) sint* [e^sint -e^(-sint)] dt
显然在区间0到π上sint都是大于等于0的，
而sint大于-sint，即e^sint -e^(-sint)也是大于等于0的
所以
F(x)一定为正数