矩阵的特征值的二重什么意思?

2024-12-23 11:46:39
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回答1:

特征多项式 = (λ-1)^2 (λ+1)。

二重特征值是指特征值是特征多项式的2重根。

如A的特征多项式为|λE-A |=(λ-2)(λ^2-8λ+18+3a)。

当λ=2是特征方程的二重根,则有2^2-8*2+18+3a=0,解得a=-2。

若λ=2不是特征方程的二重根,则(λ^2-8λ+18+3a)为完全平方,从18+3a=16而,解得 a。

设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值或本征值。非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量。

扩展资料:

特征值的基本应用:

1、求特征向量:

设A为n阶矩阵,根据关系式Ax=λx,可写出(λE-A)x=0,继而写出特征多项式|λE-A|=0,可求出矩阵A有n个特征值(包括重特征值)。

将求出的特征值λi代入原特征多项式,求解方程(λiE-A)x=0,所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

2、判断相似矩阵的必要条件:

设有n阶矩阵A和B,若A和B相似(A∽B),则有:

(1)A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B),特别地,λ(A)=λ(Λ),Λ为A的对角矩阵;

(2)A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|;

(3)A的迹等于B的迹——trA=trB,其中i=1,2,…n(即主对角线上元素的和);

(4)A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|;

(5)A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。

因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。

3、判断矩阵可对角化的充要条件:

矩阵可对角化有两个充要条件:

1、矩阵有n个不同的特征向量;

2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件,则需要出现二重以上的重特征值可验证(一重相当于没有重根)。

若矩阵A可对角化,则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值,其余元素全部为0。(一个矩阵的对角阵不唯一,其特征值可以换序,但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P。

参考资料来源:百度百科-特征值

回答2:

特征多项式 = (λ-1)^2 (λ+1)
二重特征值是指特征值是特征多项式的2重根

回答3:

有两个特征值的值一样吧