设函数f(x)=x^2+1,对任意x属于[3⼀2,正无穷大],f(x⼀m)-4m^2f(x)≦f(x-1)+4f(m)恒成立.则实数m的取值范围

希望能够解释清楚,拜托了
2024-12-23 14:42:09
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回答1:

把f(x)=x平方-1代入,得:
x^2/m^2-1-4m^2(x^2-1)≤【(x-1)^2-1】+4(m^2-1)
展开,消去4m^2,得:x^2/m^2-1-4m^2x^2≤x^2-2x-4
把x^2项合并,常数合并,得:(1/m^2-4m^2-1)x^2≤-2x-3
因为x≠0,所以1/m^2-4m^2-1≤(-2x-3)/x^2
令y=(-2x-3)/x^2,x∈[3/2,+∞),对y求导,知当x在(-2,0)时y递减,在(-∞,-2】和【0,+∞)时递增。所以y的最小值在x=3/2处取到,此时y1=-8/3
所以1/m^2-4m^2-1≤-8/3。同乘m^2,整理得:12m^4-5m^2-3≥0
因式分解,(4m^2-3)(3m^2+1)≥0,所以4m^2-3≥0
即m∈(-∞,-根号3/2】∪【根号3/2,+∞)