这个问题是这样的：
get sth done的意思是让某件事被做，sth done 不是主语发出的动作
例如：i got my hair cut.这里的意思是我的头发被剪了。而不是我发出的动作。
而你给的这句话是：我不能让让车开走在寒冷的早晨。
running 这个动作是car 发出来的，所以非谓语要选择的是doing形式，表示车开走【你也可以理解为主动表示被动】。
算是一种比较特殊的用法，思维没有问题，就是多注意doing，done，to do三大非谓语表示的状态和使用形式就好了。
这句话的意思是：我无法把我的车运行在寒冷的早晨。很明显句子里的get my car running的意思把我的车运行，get sth to do是未发生的事情，get sth doing是指已经发生的的事，不强调结果的，你说的get sth done是完成某事，这里比较强调结果
running是get的宾补，表进行和主动，且running的逻辑主语是my car
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