太阳系内最大的行星木星有没有可能大幅增加质量最终变成恒星？

微乎其微。
一方面楼主已经提到了，木星的质量距离引发核聚变还差了几十倍，别忘了太阳可稳定的辐射了几十亿年，即便木星的质量完全来自于捕获太阳风吹出的粒子（绝无可能），在未来相同的时间内也不会以几十倍的速度“长个”的。
还有一方面的佐证，如果木星可以成为恒星的前驱体，那类木行星、棕矮星吸收质量也应该是恒星生成过程中的一个重要来源，可到目前为止，我还没有听到过任何一个科学报告：XX恒星的形成是由这条路径。反而言之，可以忽略这一概念。
当然，我不能把话说绝对，譬如那天太阳系进入了浓密的一团星云，木星可能作为核捕获大量物质最终引发聚变，可这时的关键点不在于木星，而在于氢原子云。
PS 我只有学士学位，成为博士已经愧不敢当，教授那实在是折煞人，呵呵。

木星会像地球一样，与膨胀的太阳大气摩擦，坠入太阳。

质量增加的情况，出现在双星系统中，半径较小的恒星会吸收另一颗恒星过度膨胀的外壳。因为恒星是一个内部压力与大气重力的平衡体，所以吸收了更多物质的恒星会改变半径达到新的平衡，两颗恒星之间的距离也会调整，物质转移有可能会持续相当长的时间。这根据两颗恒星的初始质量不同会出现非常多的情况，甚至会发生逆转，即小星a吸收大星b→大星变小、小星变大→b吸收变大的a……