已知函数f（x）=x3-ax2-x+2．（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若对x＞0，有f′（x）≥

2024-11-26 05:45:31

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回答1：

（1）当a=1时，f（x）=x³-x²-x+2，f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
令f′（x）=0，解得x₁=-

，x₂=1．
当f′（x）＞0时，得x＞1或x＜-

；
当f′（x）＜0时，得-

＜x＜1．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

（-∞，-

）

（-

，1）

（1，+∞）

f′（x）

f（x）

单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增

∴当x=-

时，函数f（x）有极大值，f（x）_极大值=f（-

）=2

，
当x=1时函数f（x）有极小值，f（x）_极小值=f（1）=1
（2）∵f′（x）=3x²-2ax-1，∴对?x∈R，有f′（x）≥|x|-

成立，
即有3x²-2ax-1≥|x|-

对?x∈R成立，
当x＞0时，有3x²-（2a+1）x+

≥0，
即2a+1≤3x+

，对?x∈（0，+∞）恒成立，
∵3x+

≥2

3x×

=2，当且仅当x=

时等号成立，
∴2a+1≤2
故a≤

．