设矩阵A=aaT bbT,这里a,b为n维向量.证明:(1)R(A)<=2;(2)当a,b线性相关时,R(A)<=1

2024-12-19 15:57:41
推荐回答(4个)
回答1:

(1) r(A) <= r(aa^T) + r(bb^T) <= r(a) + r(b) <= 1+1 = 2

(2) 当 a,b线性相关时, 其中一个可由另一个线性表示

不妨设 a=kb

则 A = (kb)^T(kb) + bb^T = (1+k^2)bb^T

所以 r(A) <= r(bb^T) <= r(b) <=1

在数学中,矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。物理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

扩展资料

这m×n 个数称为矩阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵A的第i行第j列,称为矩阵A的(i,j)元,以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n,m×n矩阵A也记作Amn。

元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

回答2:

设a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T
计算得A= a1b1(a1b1+a2b2+a3b3) a1b2(a1b1+a2b2+a3b3) a1b3(a1b1+a2b2+a3b3)
a2b1(a1b1+a2b2+a3b3) a2b2(a1b1+a2b2+a3b3) a2b3(a1b1+a2b2+a3b3)
a3b1(a1b1+a2b2+a3b3) a3b2(a1b1+a2b2+a3b3) a3b3(a1b1+a2b2+a3b3)
计算得其行列式=0,所以R(A)<=2
当a,b线性相关时,不妨设b=ka,则bi=ai,i=1,2,3
代入A得,A=k(a1b1+a2b2+a3b3) D,其中
D=a1^2 a1a2 a1a3
a2a1 a2^2 a2a3
a3a1 a3a2 a3^2
D的各行成比例,所以R(D)=1,所以R(A)=R(D)=1

回答3:

题目有问题,不管什么情况下,都是R(A)<=1.
也许你的题目中的矩阵A应该是:
A=aaT+bbT

回答4: