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求证如下数列收敛 xn=(1+1⼀2^2)(1+1⼀3^2)……(1+1⼀n^2)

2024-12-20 14:27:15

推荐回答（2个）

回答1：

解：易证该数列递增，由ln（1+x）﹤x可知ln（1+1/n^2)﹤1/n^2﹤1/n(n-1)=1/（n-1）-1/n
n n
故ln xn=∑ln（1+1/i^2）﹤∑[1/（i-1）-1/i]=1-1/n﹤1故xn﹤e（其中e为自然对数的底数）有单调有
i=2 i=2
界原理可知xn必定收敛。

回答2：

lim1/n的二次方=0
故Xn/Xn-1=1