已知函数fx=sin^2(x-π⼀6)+cos^2(x-π⼀3)+sinxcosx, x∈R,求fx的最大值和取得最大

1. 由sin(x-π/6)=sinxcos(π/6)-cosxsin(π/6)
cos(x-π/3)=cosxcos(π/3)+sinxsin(π/3)
可得原式=0.5(cosx)²+1.5(sinx)²+sinxcosx
=0.5+(sinx)²+sinxcosx
=0.5+0.5(1-cos2x)+0.5sin2x
=1+0.5(sin2x-cos2x)
=1+0.5*√2*[sin(2x-π/4)]
从而可以知道当2x-π/4=2kπ+π/2,即当x=kπ+(3π/8)时，函数取到最大值1+0.5√2，其中k是整数。
2. 易知当x∈[0,π]时，2x-π/4∈[-π/4, 7π/4]，而在一个周期中，正弦函数在第四与第一象限是递增的函数，所以当2x-π/4∈[-π/4, π/2]或者2x-π/4∈[3π/2, 7π/4]，也就是当
x∈[0,3π/8]或者x∈[7π/8, π]时，函数单调递增。
这道题考察的是三角函数的图像，性质以及一些基本的运算，希望此解答对你有帮助。