已知函数f(x)=f✀(1)e^x-1-f(0)x+봀x눀

解：
f(x)=f'(1)e^x-1-f(0)x+½x²
因为f（x）≥（1/2）x²+ax+b
f'(1)e^x-1-f(0)x+½x²≥（1/2）x²+ax+b
整理得：f'(1)e^x-1-f(0)x≥ax+b
即：ax+b<=f'(1)e^x-1-f(0)x
所以x=b时，ab+b<=f'(1)e^b-1-f(0)b
即：(a+1)b<=f'(1)e^b-1-f(0)b
所以
（a+1）b的最大值就是：f'(1)e^b-1-f(0)b

f(x)=f′(1)e^(x-1)-f(0)x+1/2x^2中，令x=0的f'(1)=ef(0)
所以f(x)=f(0)e^x-f(0)x+1/2x^2
关于x求导得：f'(x)=f(0)e^x-f(0)+x
故f'(1)=f(0)e-f(0)+1=ef(0)解得f(0)=1
所以f(x)=e^x - x + 1/2 x^2

f'(x)=e^x-1+x
当x>0时，f'(x)>0,函数单调增加
当x<=0时，f'(x)<=0,函数单调减少。
所以单调增区间是(0,正无穷），单调减区间是(负无穷，0]

f(x)=e^x - x + 1/2 x^2≥1/2x^2+ax+b即 e^x >=(a+1)x +b成立
(a+1)b的最大值，我们考虑(a+1),b同号时的情况。不妨设a+1>0,b>0
则e^x >=(a+1)x +b中，令x=1得a+1+b<=1
从而(a+1)b <=[(a+1)+b]^2 /4=1/4
即(a+1)b的最大值=1/4