勾股定理的历史

人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在世界许多地区的数学原始文献中都有反映．最早发现”勾三股四弦五”这一特殊关系的是古埃及人，这一事实可以追溯到公元前25世纪，中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理，而对它的应用更有许多独到之处．勾股定理一般情况的发现和证明，那要归功于古希腊的毕达哥拉斯．
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’（即直角）的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。在稍后一点的《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：弦=（勾2+股2）(1/2) 亦即：c=（a2+b2）(1/2)

满足勾股定理的数组称为勾股数（或商高数）。在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理，满足定理的数组也就称为毕达哥拉斯数。但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900年到公元前l600年之间。这些勾股数组中有些是很大的数，即使在今天也往往是人们所不熟悉的。这个数表使人们有理由相信，古巴比伦人早已掌握了勾股定
勾股的证明

理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。

勾股趣事
毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式：一组勾股数的正整数解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特点是斜边与其中一股的差为1。
后来，另一个古希腊学者柏拉图（Plato,约前427－前347）也给了另一组公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1，此时斜边与其中一股之差为2。
被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图（Diophantus,约330－246）也在研究二次不定方程的时候，对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：全部解的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2其中m，n（m>n）是互质且一奇一偶的任意正整数。
丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓。重要的是，这组式子包含了全部的勾股数组！
值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中，也提出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：任意给定两个正整数m，n(m＞n)，那么这三个正整数就是一个整勾股数组。用代数方法很容易证明这一结论。公元3世纪，我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论。
不难证明，如果上述m，n(m＞n)，是互质的奇数，那么用《九章算术》中的法则可以求出所有两两互质的整勾股数组。这也是我们中国古代数学家的一项杰出成就。
无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了勾股定理，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这同一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富.

从很多泥板记载表明，古巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，《周髀算经》为算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是中国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”（相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题），在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”