首先,
P和Q都只是在(0,0)处不连续也只是在(0,0)处不可偏导
此题应该分两种情况讨论,
1、L围成的区域中未包含原点,根据首先得到的条件,利用格林公式,该积分等于零
2、L围成的区域中包含原点,则取曲线C为x^2+y^2=1,
不论C与L的关系,我们可以用一条更大的曲线T包含这C和L这两条曲线,于是又L上的积分等于T上的积分等于C上的积分。所以L上的积分等于C上的积分。
于是可将C带入P和Q中可得
再使用一次格林公式可得
(0,0)∈D时,作为曲线积分是有意义的,因为曲线积分只考虑曲线上的点,只要(0,0)不在曲线上就行。只不过当(0,0)∈D时,由于P,Q两个函数在D内有那么一个讨厌的点存在,因此不满足一阶连续偏导数这个条件了,因此不能直接用格林公式而己。
比如当积分曲线是单位圆时,你可以用参数方程计算:x=cost,y=sint,代入计算与书上的结果是一样的,只不过这种方法不如书上的好。
如果直接化曲线积分为定积分,自然不用考虑原点,它又不在曲线L上。如果想使用格林公式,就需要判断原点是否在区域D内,因为两个被积函数在原点处很明显没有定义,更不用说偏导数存在且连续了。
这个题目可以这样考虑,如果L是一个以原点为圆心的圆,则被积函数的分母变成了常数,这时候格林公式的条件满足,计算很简单。然后再注意到在非原点处的两个偏导数相等,所以在L与一个圆之间使用格林公式的话,积分是0,所以L上的积分等于圆上的积分,方向都是正方向(逆时针)。