一元二次方程1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 的步骤解法及运用（适合初三数学）

一元二次方程解法：

一、直接开平方法

形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。

二、配方法

1.二次项系数化为1

2.移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。

3.配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。

4.利用直接开平方法求出方程的解。

三、公式法

现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。

四、因式分解法

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。

扩展资料：

一般地，式子b^2－4ac叫做一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b^2－4ac.

1、当Δ>0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；

2、当Δ＝0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；

3、当Δ<0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根。

1、直接开平方法

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m 。

例：解方程(3x+1)²=7

∵（3x+1)²=7 

∴3x+1=±√7

∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 

∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=﹙﹣√7-1﹚/3 

2、配方法

用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0) .先将常数c移到方程右边：ax²+bx=-c ,将二次项系数化为：x²+bx/a=- c/a ,方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²+bx/a+( b/2a)²=- c/a+( b/2a)²。

方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a)²= -c/a﹢﹙b/2a﹚² .当b²-4ac≥0时,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ,所以x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 

例：用配方法解方程 3x²-4x-2=0 

将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 ，将二次项系数化为：x²-﹙4/3﹚x= 2/3，方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=2/3 +(4/6 )² 

配方：(x-4/6)²= 2/3 +(4/6 )² ，直接开平方得：x-4/6=± √[2/3+(4/6 )² ]

∴x= 4/6± √[2/3 +(4/6 )² ] 

原方程的解为x1=4/6﹢√﹙10/9﹚,x2=4/6﹣√﹙10/9﹚

3、公式法

把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b²-4ac的值,当b²-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) ,(b²-4ac≥0)就可得到方程的根。

例：用公式法解方程 2x²+4x+1=0

∴a=2,b=4 ,c=1

⊿=b²-4ac=16-4*2*1=8>0

x=(-b±√⊿)／(2a)=(-4±2√2)/4=(-2±√2)/4

∴原方程的解为x1=(-2+√2)/4 x2==(-2-√2)/4

4、因式分解法

把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例：用因式分解法解方程：6x²+5x-50=0

6x²+5x-50=0 

(2x-5)(3x+10)=0 

∴2x-5=0或3x+10=0 

∴原方程的解x1=5/2,x2=-10/3 

扩展资料：

一元二次方程成立条件

一元二次方程成立必须同时满足三个条件：

1、是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

2、只含有一个未知数；

3、未知数项的最高次数是2 。

参考资料：百度百科-一元二次方程

1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程，其解为x=±√n+m .
例：解方程(3x+1)²=7
解：∵（3x+1)²=7 　　
∴3x+1=±√7
∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3
∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3，x2=﹙﹣√7-1﹚/3 　
2、配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0) 。先将常数c移到方程右边：ax²+bx=-c ，将二次项系数化为：x²+bx/a=- c/a ，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²+bx/a+( b/2a)²=- c/a+( b/2a)²，方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a)²= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 。当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ，所以x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)
例：用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2
将二次项系数化为：x²-﹙4/3﹚x= 2/3
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=2/3 +(4/6 )²
配方：(x-4/6)²= 2/3 +(4/6 )²
直接开平方得：x-4/6=± √[2/3+(4/6 )² ]
∴x= 4/6± √[2/3 +(4/6 )² ]
原方程的解为x1=4/6﹢√﹙10/9﹚，x2=4/6﹣√﹙10/9﹚
3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。
例：用公式法解方程 2x²+4x+1=0
解：∴a=2, b=4 ,c=1
⊿=b²-4ac=16-4*2*1=8>0
x=(-b±√⊿)／(2a)=(-4±2√2)/4=(-2±√2)/4
∴原方程的解为x1=(-2+√2)/4 x2==(-2-√2)/4
4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例：用因式分解法解方程：6x²+5x-50=0
解：6x²+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0
∴2x-5=0或3x+10=0
∴原方程的解x1=5/2, x2=-10/3

小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法（换元法，配方法，待定系数法）之一，一定要掌握好。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 　　1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 　　1、直接开平方法： 　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的 方程，其解为x=±√n+m . 　　例1．解方程（1）(3x+1)^2;=7 （2）9x^2;-24x+16=11 　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2;，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 　　（1）解：(3x+1)^2=7 　　∴(3x+1)^2=7 　　∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号) 　　∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 　　∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3 　　（2）解： 9x^2-24x+16=11 　　∴(3x-4)^2=11 　　∴3x-4=±√11 　　∴x=﹙ 4±√11﹚/3 　　∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3 　　2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 　　先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 　　将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 　　方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 　　当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² 　　∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 　　例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0 　　解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 　　将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= ? 　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )² 　　配方：(x-4/6)²= ? +(4/6 )² 　　直接开平方得：x-4/6=± √[? +(4/6 )² ] 　　∴x= 4/6± √[? +(4/6 )² ] 　　∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ . 　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。 　　例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5 　　解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0 　　∴a=2, b=-8, c=5 　　b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0 　　∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a) 　　∴原方程的解为x?=,x?= . 　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 　　例4．用因式分解法解下列方程： 　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 　　(3) 6x²+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） 　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 　　x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) 　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) 　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 　　(2)解：2x2+3x=0 　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) 　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。 　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 　　(3)解：6x2+5x-50=0 　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 　　∴2x-5=0或3x+10=0 　　∴x1=, x2=- 是原方程的解。 　　(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） 　　(x-2)(x-2 )=0 　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 　　小结： 　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 　　直接开平方法是最基本的方法。 　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 　　解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

一元二次方程 设为ax^2 bx c＝0（其中a不等于零）。
直接开平方法：一般分为二次项系数为1和不为1，为1时等式左边配成完全平方得形式，等式右边是配方后的数，然后再开方，开放后原平方项开出来为正负，右边为原来数开方后的数，再算出未知数就可以了。如果系数不为1，则提出系数，如a（x^2 b/ax） c＝0 配方得a（x b/2a）^2＝（b/2a）^2 （-c）两边除以a再开方得x b/2a＝±√【（b/2a）^2 （-c）】然后x＝ ±√【（b/2a）^2 （-c）】-b/2a 这种一般适合开根好开的数
陪方法和直接开根差不多

公式法就是 当▲＝b^2-4ac≥0时x＝2a分之-b±√（b^2-4ac）当▲＜0时无解。
因式分解法 现在不推广，主要是平方差公式a^2-b^2＝（a-b）（a b）的应用 还有初一学的多项式和多项式的应用，即（ax b）（cx d）＝acx^2 （ac bd）x bd 初中阶段不重点抽查这个。

这几个最重要的还是公式法和陪方法。