在△ABC中，AB=2倍根号5，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段cd的长

解：

∵AC=4，BC=2，AB=2倍根号5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），
∵△ABD为等腰直角三角形（已知），
∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），
∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），
∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），
在△ACB与△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），
∴CE=6（等量代换）

根据勾股定理得：CD=2√10；

如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD为等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB与△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证） AB=DA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等）
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2√13；

如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3√2．

向左转|向右转

由三角形边与角的关系可知，CD^2=BD^2+CB^2-2BD*CB*Cos角CBD (*),由△ABC边的关系可知，AB^2=AC^2+BC^2,即△ABC为直角三角形，
（1）当AB为△ABD斜边时：
角C是直角，Cos角ABC＝√5/5，Sin角ABC＝2*√5/5，
Cos角CBD＝Cos（角ABC－角ABD）＝Cos角ABC*Cos角ABD+Sin角ABC*Sin角ABD,
因为△ABD为等腰直角三角形，角ABD＝45度，Cos角ABD＝√2/2，Cos角CBD＝3√10/10，
BD=√10,BC=2,代入(*)式，得CD^2=10+4-2*2*√10*3√10/10=2,CD=√2.
（2）当AB为直角边时：
Cos角CBD＝Cos（角ABD－角ABC）＝Cos（90度－角ABC）＝Sin角ABC＝2*√5/5，
BC=2，BD=AB=2*√5,代入(*)式，得CD^2=20+4-2*2*2*√5*2*√5/5=8,CD=2*√2

AD=根号10,在三角形ABC中用余弦定理求得cosA=(16+20-4)/16倍的根号5=2/根号5,则sinA=3/ 根号5,用余弦的和角公式求得cosDAC=-1/根号10,在三角形DAC中由余弦定理求得CD=根号34