已知平面的方程，怎么求平面的法向量？

变换方程为一般式Ax+By+Cz+D=0，平面的法向量为(A,B,C)。

证明：设平面上任意两点P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)

∴ 满足方程：Ax1+By1+Cz1+D=0，Ax2+By2+Cz2+D=0

∴ PQ的矢量为(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，该矢量满足A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0

∴ 矢量PQ⊥矢量(A,B,C)

∴ 平面上任意直线都垂直于矢量(A,B,C)

∴ 矢量(A,B,C)垂直于该平面

∴ 平面的法向量为(A,B,C)

扩展资料：

计算

对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。

如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为

。如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足 F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为

。如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

• 变换方程为一般式Ax+By+Cz+D=0，平面的法向量为(A,B,C)。

• 证明：设平面上任意两点P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)

  ∴ 满足方程：Ax1+By1+Cz1+D=0，Ax2+By2+Cz2+D=0

  ∴ PQ的矢量为(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，该矢量满足A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0

  ∴ 矢量PQ⊥矢量(A,B,C)

  ∴ 平面上任意直线都垂直于矢量(A,B,C)

  ∴ 矢量(A,B,C)垂直于该平面

  ∴ 平面的法向量为(A,B,C)

• 平面方程：空间中处在同一平面的对应的方程。而平面是最简单、最常用的一种特殊曲面。

• 平面方程的一般式：Ax+By+Cz+D=0,其中A,B,C,D为已知常数，并且A,B,C不同时为零。

• 法向量：如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

• 平面的法向量：确定平面位置的重要向量。指与平面垂直的非零向量。一个平面的法向量可有无限多个，但单位法向量有且仅有两个。例如在空间直角坐标系中Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C)，而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度，正负代表方向。

如何求平面的法向量

这个你可以在数学书上可以找得到