求证：若n＞1，n与n的平方之间必有质数

2025-03-12 01:05:29

推荐回答（3个）

回答1：

LZ你的题目出错了，正整数n的平方必定是一个合数

回答2：

http://baike.baidu.com/view/1556298.htm

回答3：

注：实在抱歉，不太会证以下引理，所以粘贴了一下资料，可以不详细看。
先证Bertrand对任意自然数 n ≥ 2，至少存在一个素数 p 使得 n < p < 2n。
引理 1：设 n 为一自然数， p 为一素数，则能整除 n! 的 p 的最高幂次为： s = Σi≥1floor(n/pi) (式中 floor(x) 为不大于 x 的最大整数)。
证明：能整除 n! 的 p 的最高幂次显然等于从 1 到 n 的各自然数中 p 的最高幂次之和，即 s = Σ1≤i≤n si (其中 si 为能整除 i 的 p 的最高幂次)。现在将从 1 到 n 的所有 (n 个) 自然数排列在一条直线上，在每个数字上叠放一列 si 个记号，显然记号的总数是 s。关系式 s = Σ1≤i≤n si 表示的是先计算各列的记号数 (即 si) 再求和。但我们也可以先计算各行的记号数再求和，由此得到的关系式正是引理 1。为了证明这一点，我们从数字所在的直线开始自下而上计数。很明显所有第一行有记号的数字都含有因子 p (因为否则的话 si = 0，没有记号)，这种数字的总数 (也就是该行的记号总数) 是 floor(n/p)；第二行有记号的数字都含有因子 p2 (因为否则的话 si < 2，在第二行上不会有记号)，这种数字的总数 (也就是该行的记号总数) 是 floor(n/p2)，依此类推，第 i 行的记号总数为 floor(n/pi)。将所有这些数字相加便证明了引理 1。 Q.E.D.我们之所以用这样一种比较文字化的方式来叙述引理 1 的证明过程，目的在于更清楚地显示该证明的基本思路：即利用一个有限二维点阵求和的不同方式 (顺序) 得到互相等价的不同表达式。这是数学证明中一种常用的手段。推论 1.1：设 n 为一自然数， p 为一素数，则能整除 (2n)!/(n!n!) 的 p 的最高幂次为： s = Σi≥1 [floor(2n/pi) - 2floor(n/pi)]。证明：显然。 Q.E.D.推论 1.2：设 n ≥ 3 为一自然数， p 为一素数， s 为能整除 (2n)!/(n!n!) 的 p 的最高幂次，则：(a) ps ≤ 2n； (b) 若 p > √2n，则 s ≤ 1； (c) 若 2n/3 < p ≤ n，则 s = 0。证明： (a) 设 m 为满足 pm ≤ 2n 的最大自然数，则显然对于 i > m， floor(2n/pi) - 2floor(n/pi) = 0 - 0 = 0。因此推论 1.1 中的求和止于 i = m，共计 m 项。由于 floor(2x) - 2floor(x) ≤ 1，因此这 m 项中的每一项不是 0 就是 1，其求和结果不超过项数本身，即 s ≤ m，因此 ps ≤ pm ≤ 2n。 (b) 因为 p > √2n 表明 p2 > 2n，因此由 (a) 可得 s ≤ 1。(c) 因为 n ≥ 3 及 2n/3 < p ≤ n 表明 p2 > 2n，因此推论 1.1 中的求和只有 i = 1 一项，即： s = floor(2n/p) - 2floor(n/p)。由于 2n/3 < p ≤ n 还表明 1 ≤ n/p < 3/2，因此 s = floor(2n/p) - 2floor(n/p) = 2 - 2 = 0。 Q.E.D.引理 2：设 n 为自然数， p 为素数，则 Πp≤n p < 4n。证明：用数学归纳法。 n = 1 和 n = 2 时引理显然成立。假设引理对 n < N 成立 (N > 2)，我们来证明 n = N 的情形。如果 N 为偶数，则 Πp≤N p = Πp≤N-1 p，引理显然成立。如果 N 为奇数，设 N = 2m + 1 (m ≥ 1)。注意到所有 m + 1 < p ≤ 2m + 1 的素数都是组合数 (2m+1)!/m!(m+1)! 的因子 (因为它们是 (2m+1)! 的因子，但却不是 m! 和 (m+1)! 的因子)；另一方面组合数 (2m+1)!/m!(m+1)! 在二项式展开 (1+1)2m+1 中出现两次，因而 (2m+1)!/m!(m+1)! ≤ (1+1)2m+1 / 2 = 4m。这两点合并可得 Πm+1 4，但后面我们会看到，我们的整个方法只适用于 n ≥ 50，因此我们其实是假定 n ≥ 50，对 50 以下的情形只需直接验证即可)，并利用推论 1.2(b) 可得：(2n)!/(n!n!) ≤ Πp≤√2n ps(p) · Π√2n那么，在n>1时，n^2≥2n,所欲证的结论比上述假设（又称切比雪夫定理）要弱。
故得证