51问答网 > 设数列An的前n项和为Sn，已知A1=1。A2=6，A3=11，且（5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=-20n-8,求证An为等差数列

设数列An的前n项和为Sn，已知A1=1。A2=6，A3=11，且（5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=-20n-8,求证An为等差数列

2024-12-25 17:39:21

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回答1：

证明：
（5n-8)S(n+1）-(5n+2)Sn=-20n-8
(5n-8)an+(5n-8)Sn-(5n+2)Sn=-20n-8
(5n-8)an-10Sn=-20n-8 ①
令n=n-1，得
(5n-13)a(n-1)-10S(n-1)=-20n+12 ②
①-②，得
(5n-18)an-(5n-13)a(n-1)=-20 ③
再令n=n-1，得
(5n-23)a(n-1)-(5n-18)a(n-2)=-20 ④
③-④，得
(5n-18)an+(5n-18)a(n-2)=(5n-13)a(n-1)+(5n-23)a(n-1)=2(5n-18)a(n-1)
得
an+a(n-2)=2a(n-1)
an-a(n-1)=a(n-1)-a(n-2)
所以an是等差数列！！