一个桶里注满水，桶底有一个小洞，水从洞里流出，问水在流出过程中什么时候重心最低。 用字母表示吧。

试试吧，不一定对。
假设木桶底面h=0（势能0点）；木桶的重量m1,重心h1;水的重量m2,重心h2;总体的重心h3;
则有
m1*h1*g+m2*h2*g=(m1+m2)*h3*g;
h3=(m1h1+m2h2)/(m1+h2)=(m1h1+m2h1)/(m1+m2)- (m2h1-m2h2)/(m1+m2);
h3=h1- m2*(h1-h2)/(m1+m2);
很明显：一、h1,m1固定不变；二、随着水位下降，h2变小；三、无论木桶的重心如何，h2一定会有小于h1的时候；
那么我们考虑m2*(h1-h2)/(m1+m2)的最大值，即为h3的最小值；
一、假设木桶内部空间为圆柱体，其地面积为S;
m2=S*h2*水的比重（常数）= c*h2;(c为常数）；
m2*(h1-h2)= c*h2(h1-h2);
因为m1+m2>0;所以我们只考虑h1-h2>0的情况,即0当h2=h1/2时， h2(h1-h2)取得最大值；（二次曲线可知， h2(h1-h2)= h1*h1/4 - (h2-h1/2)*(h2-h1/2);）
1.当 h2从h1到h1/2变化时，m2*(h1-h2)分子渐增/(m1+m2)分母渐减，故m2*(h1-h2)/(m1+m2)渐增；
2.考虑 h2从h1/2到0变化时，
h2(h1-h2)关于h2二阶递减；
(m1+m2)=m1+ch2>=m1 关于h2一阶递减；
故m2*(h1-h2)/(m1+m2)关于h2一阶递减；(不太肯定这样说对不对，我也证明不出来，唉)
由1，2可知当h2=h1/2时，h3取得最小值，即整体的重心最低。
二、如果木桶内部为圆锥形，我想了2个圆锥的之差可得水的体积，可是跟h的关系太乱了。我没辙了。哈哈

应该是先下降，后上升，应位很容易知道最后瓶子的重心是在原来的位。本题适合采用极限法的思想，也就是在没流之前和流完之后，可以知道重心位置并没有改变，但是过程中怎么变您应该很清楚，其他的似乎不用多说了~~
字母？怎么表示

依题意得：当装入水后的桶的重心最低时，重心恰好位于水面上。
设桶的质量为a克，注满需要b克水。不是一般性，设装x克水，桶质量 ：水的质量 = a ：x。
不妨设桶高为1，则桶的重心位置为1/2 。
由于b克水对应水面高度为1，那么x克水对应水面高度为 x/b，于是水的重心位置为x/2b 。
代入重心最低点的条件得： (a*1/2+x*x/2b)/(a+x) =x/b,解得x=根号下（a^2+ab）-a

额

先下降后上升