51问答网 > 数列｛1⼀n（n+1）｝的前n项和Sn=1⼀1*2+1⼀2*3+1⼀3*4+1⼀4*5+......+1⼀n(n+1),研究一下，能否找到求Sn的一个公

数列｛1⼀n（n+1）｝的前n项和Sn=1⼀12+1⼀23+1⼀34+1⼀45+......+1⼀n(n+1),研究一下，能否找到求Sn的一个公

2024-12-25 03:10:46

推荐回答（3个）

回答1：

解析，an=1/{n(n+1)}=1/n-1/(n+1)
那么，Sn=a1+a2+a3+……+an=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)
推广，
an=1/{(n+t)(n+t+1)}(t∈自然数N)，都可以，这样拆开，an=1/(n+t)-1/(n+t+1)
另外，an=1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n(n≧2的正整数)
an=1/(2n+1)(2n+3)=1/2(1/(2n+1)-1/(2n+3))
总结，只要是分母的两项相减等于常数，都可以利用拆开的方法，

回答2：

1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
Sn=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)

回答3：

n/n+1