办法1:曲面Z=9-x^2-y^2k可以看成是曲线(抛物线)z=9-x^2围绕Z轴旋转行程的曲面。
所求也就是曲线x=sqrt(9-z)(0<=z<=9)旋转围绕z轴而形成的几何体。
根据旋转曲面的积分公式:
V=∫ [z:9->0] π [f(z)]^2 dz =π ∫ [z:9->0] (9-z) dz = 9z- (z^2/2) |[9->0] =81π/2
办法2:根据重积分,几何体的体积也就是V=∫∫∫1dxdydz =∫[0,9] dz ∫∫[x^2+y^2<=(9-z)] 1dxdy
=极坐标变换= ∫[0,9] dz ∫[0,sqrt(9-z)] dr ∫[0,2π] r dθ =π∫ [0,9] (9-z) dz =81π/2
81/2π