为什么只有单调函数有反函数。

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“只有单调函数才有反函数”的说法是不确切的,比如y=1/x,它就不是一个单调函数,但是的确有一个反函数的存在（虽然是它自己）.另外,“单调函数一定有反函数”的说法也不太确切.比如说一些单调分段函数,其中的一段是某个固定值,“反函数”中这一段直线就立了起来,不被称为函数了.
小生认为一般来说,“连续严格单调递增或连续严格单调递减函数,一定有反函数”,但反过来是不成立的,很多不连续的函数,甚至是散点状的函数都有反函数,且不单调.
单调函数的定义是：对于每一个x1>=x2,都有y1<=y2（以单调递减函数为例）。对于y=1/x来说，的确在一三两个象限内它是递减的，但是如果我们去x1=1，x2=-1（跨象限），楼主可以立即发现y1=1，y2=-1，此时x1>x2, y1>y2不符合单调递减函数的定义。原因就在于这个函数不连续，中间有一个错口，导致数值突然变化。

根据函数的定义，对于每一个x，只有一个y和它对应就OK。但如果不是单调函数，就会出现几个x对应同一个y值的情况出现。也就是一个y可能对应几个x，反函数过来就没法满足函数的定义了。
函数只要求每个x只有一个y对应，而反函数要求一一对应，这就是二者的不同。