解：（1）∵二次函数y=x2+2x+m可化为y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，
∴对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，即m=1，
∴C1的顶点坐标为（-1，0）；
（2）∵C1的顶点坐标为（-1，0）
∴此函数的解析式为y=（x+1）2，
其图象如图所示．
（3）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，
∵C2与x轴的一个交点为A（-3，0）
∴把A（-3，0）代入得（-3+1）2+k=0，得k=-4，
∴C2的函数关系式为y=（x+1）2-4．
∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．
（4）∵Q（1，y2）是C1上的点，
∴当x=1时，y2=4，即Q（1，4），
∴n＞1或n＜-3时，y1＞y2．
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