二次函数y=1⼀6(x+2根号3)^2的图像的顶点为A，与y轴交于B，以AB为边在第二象限内作等边三角形ABC。

（1）二次函数的图象的顶点A（-2根号 3 ，0），与y轴的交点B（0，2），
设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），
得 k=根号3/3,b=2．所以直线AB的表达式为y=根号3/3X+2.
易得∠BAO=30°，∵∠BAC=60°，∴∠CAO=90°．
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4．
∴AC=4．点C（-2根号3，4）．

（2）∵点C、M都在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，
∴CM∥AB．∴设直线CM的表达式为y=根号3/3x+m，点C在直线CM上，可得 m=6．
∴直线CM的表达式为y=根号3/3x+6．可得点M的坐标：（-5根号3，1）．

（3）由C、M坐标可得【两点间距离公式】CM=6
① 当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7；
在Rt△CAN中，AN=根号33
∴ON=AN+OA=根号33 +2根号3或ON=AN-OA=根号33-2根号3
即：点N的坐标为：（-根号33-2根号3，0），（根号33-2根号3，0）
②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5；
在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3；
∴ON=AN+OA=3+2根号3或ON=OA-AN=2根号3-3
即：点N的坐标为：（-3-2根号3，0），（3-2根号3，0）

综上所述，点N的坐标（-根号33-2根号3，0），（根号33-2根号3，0），（-3-2根号3，0），（3-2根号3，0）

y=根号3x/3+2 c(-2√3,4)
M(-5√3,1)
N(-2√3+√33,0)或（-2√3-√33，0）

1）已知抛物线的解析式，其顶点以及函数图象与y轴交点坐标易求得．在求点C的坐标时，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），显然，若△ABC是等边三角形，那么AC与x轴垂直，无论通过勾股定理求边长还是根据B点在AC的中垂线上，都能比较容易的求出点C的坐标．
（2）“M点在第二象限内”确定了点M的大致范围，若“△ABM的面积等于△ABC的面积”，以AB为底边进行分析，那么点C、点M到直线AB的距离是相同的，即CM∥AB，直线AB的解析式易求，两直线平行则斜率相同，再代入点C的坐标就能通过待定系数法求出直线CM的解析式，然后代入点M的纵坐标即可得出结论．
（3）首先求出⊙C的半径，即CM的长．若⊙C与⊙N相切，就要分两种情况来考虑：①外切，CN长等于两圆的半径和；②内切，CN长等于两圆的半径差．
在明确CN长的情况下，在Rt△CAN中，通过勾股定理求出AN的长，进一步即可确定点N的坐标．

(1) A(-2√3,0)，B(0,2)所以直线方程为y=x/√3+2 ，易知C(-2√3,4)
(2) 由M到直线AB的距离等于C到AB的距离，据点到直线的距离公式易得M(-5√3,1)或M(3√3,1)(舍)
(3) CM=6，设N(x,0)，两圆可能外切也可能内切。
由相切两圆的圆心距与半径的关系知：外切时有CN=CM+1=7即(x+2√3)^2+4^2=7^2,
解得x=-2√3+√33或x=-2√3-√33即N(-2√3+√33,0)或（-2√3-√33，0）
内切时有CN=CM-1=5即(x+2√3)^2+4^2=5^2,
解得x=-2√3+3或=-2√3-3即N(-2√3+3,0)或(-2√3-3，0)

N(-2√3+√33,0)或（-2√3-√33，0）
M(-5√3,1)