求积分上限函数的导数

2024-12-27 21:33:47

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回答1：

[∫[0,x]
f(t)dt]'=f(x)
即：变动上限积分
对
变动上限
的导数，等于将变动上限带入被积函数。
例：
f(x)=∫[0,x]
sint/t
dt
尽管
sint/t
的原函数
f(x)
无法用初等函数表示，但f(x)的导数却可以根据【变动上限积分求导法则】算出：
[f(x)]'=[∫[0,x]
sint/t
dt
]'=sinx/x
一般形式的【变动上限积分求导法则】为：
【∫[φ(x)
,ψ(x)]
f(t)dt】'
=
f(φ(x))φ'(x)-f(ψ(x))ψ'(x)

回答2：

继续分离积分变量与函数变量
z=xy∫f(t)dt-∫tf(t)dt+∫tf(t)dt-xy∫f(t)dt然后求导
Zx=y∫f(t)dt+xyf(xy)y-xyf(xy)y+xyf(xy)(-y)-y∫f(t)dt-xyf(xy)(-y)
=y∫(0到xy)f(t)dt-y∫(xy到1)f(t)dt
Zxx=yf(xy)y-yf(xy)(-y)=2y²f(xy)

回答3：

回答4：