因式分解（1）.15+2x-x的平方 （2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25 (3)X的4次-Y的四次 （4）A的3次加B的3次分之

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；

(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；

(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

(2)x3-8y3-z3-6xyz；

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

(4)a7-a5b2+a2b5-b7．

解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-1yn(x2n-y2)2

=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．

(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

＝(a-b)2+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

=(a-b+c)2

(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

=(a2-b2)(a5+b5)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

分析 我们已经知道公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=〔(a+b)3+c3〕-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)〔(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．

说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

a3+b3+c3-3abc

显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．

解 因为

x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，

所以

说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x3-9x+8．

分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1 将常数项8拆成-1+9．

原式=x3-9x-1+9

=(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x+8

=(x3-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x+8

=(9x3-9x)+(-8x3+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法4 添加两项-x2+x2．

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

例5 分解因式：

(1)x9+x6+x3-3；

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；

(4)a3b-ab3+a2+b2+1．

解 (1)将-3拆成-1-1-1．

原式=x9+x6+x3-1-1-1

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．

(2)将4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)

=(mn+1)2-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．

原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4

=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2

=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2

=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．

(4)添加两项+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)

=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)

=[a(a-b)+1](ab+b2+1)

=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．

说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

解 设x2+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．

说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

例7 分解因式：

(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．

分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．

令y=2x2+5x+2，则

原式=y(y+1)-90=y2+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)

=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．

说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

例8 分解因式：

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．

解 设x2+4x+8=y，则

原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

=(x2+6x+8)(x2+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．

说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2

=6〔(x4-2x2+1)+2x2〕+7x(x2-1)-36x2

=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2

=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2

=[2(x2-1)-3x〕〔3(x2-1)+8x]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

解法2

原式=x2[6(t2+2)+7t-36]

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．

分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)

=u4-6u2v+9v2

=(u2-3v)2

=(x2+2xy+y2-3xy)2

=(x2-xy+y2)2．

练习一

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

2．分解因式：

(1)x3+3x2-4；

(2)x4-11x2y2+y2；

(3)x3+9x2+26x+24；

(4)x4-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；

(2)x4+7x3+14x2+7x+1；

(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；

(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．

（1）.15+2x-x的平方=(5-x)(3+x)

（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25=x²+6x+9+y²-8y+16=(x+3)²+(y-4)²

(3)X的4次-Y的四次=(x²-y²)(x²+y²)=(x-y)(x+y)(x²+y²)

（4）A的3次加B的-3次=(A+B^-1)(A²-AB^-1+B^-2)

（5）X²+X的负2次=3，
X²+2+X^-2=1
(X+1/X)²=1
∴X+1/X=±1
X²-2+1/X²=5
(X-1/X)²=5
∴X-1/X=±√5
求（1）X的三次+X的负三次
=(X+1/X)(X²-1+1/X²)
=±1*(3-1)
=±2

（2）X+X负一次-2分之X的平方-X的-2次-3的值
(X²-1/X²-3)/(X+1/X-2)
=[(X-1/X)(X+1/X)-3]/(X+1/X-2)
=[(±√5)(±1)-3]/(±1-2)
=(±√5-3)/(-3) 或=3±√5

15+2x-x的平方
=(x-3)(x+5)
（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25
=((x+3)²+（y-4）²
3)X的4次-Y的四次因式分解
=（x²+y²）（x+y）（x-y）
（4）A的3次加B的3次分之一
=（A+1/B）（A²-A/B+1/B²）
（5）X的二分之一+X的二分之一=3，求（1）X的三次+X的负三次（2）X+X负一次-2分之X的平方-X的-2次-3的值
没看懂什么意思

1 （5-x）（3+x)
2 原式= (x+3)^2-(Y+4)^2=（x-Y-1）（x+Y+7)