若正实数a、b满足ab a+b+3，a^2+b^2的最小值

2024-12-19 06:02:34

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回答1：

设a+b=m，则ab=m+3，a²+b²变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．
解答：设a+b=m，则ab=m+3，
a、b可看作关于x的方程x²-mx+m+3=0的两根，
a、b为实数，则△=（-m）²-4（m+3）≥0，
解得m≤-2或m≥6，而a、b为正实数，
∴a+b=m＞0，只有m≥6，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=m²-2（m+3）=（m-1）²-7，
可知当m≥1时，a²+b²随m的增大而增大，
∴当m=6时，a²+b²的值最小，为18．

回答2：

依基本不等式得

a+b+3＝ab≤[(a+b)/2]²
→(a+b+2)(a+b-6)≥0.
因a、b∈R+,有a+b+2>0,
故a+b-6≥0,即a+b≥6.
∴a²/1+b²/1≥(a+b)²/(1+1) (权方和不等式)
≥6²/2
＝18.
故所求最小值为：(a²+b²)|min＝18.
此时易得，a＝b＝c＝3。