设f(x)=1⼀3x^3+1⼀2x^2+2ax，若f(x)在(2⼀3,正无穷)上存在单调递增区间，求a的取值范围

解：
函数f(x)=(1/3)x³+(1/2)x²+2ax.
求导，f'(x)=x²+x+2a.
由题设可知：
关于x的不等式x²+x+2a≥0.
其解集M与区间(2/3, +∞)的交集非空。
或者说，不等式2a≥-(x²+x)
必有解在区间(2/3, +∞)内。
∴问题可化为，求函数g(x)=-x²-x在(2/3, +∞)上的最大值（或上确界）。
显然，在(2/3, +∞)上，恒有：g(x)＜g(2/3)=-10/9.
∴应有：2a≥-10/9
∴a≥-5/9

f(x)=1/3x^3+1/2x^2+2ax
f'(x)=x^2+x+2a>=0时递增
deta=1-8a<0时，即a>=1/8时，xER上都递增，自然在在(2/3,正无穷)上存在单调递增区间
所以a>=1/8时成立。
当deta>0时，即a<1/8时，
x^2+x+2a>=0
x>[-1+根号(1-8a)]/2 or x<[-1-根号(1-8a)]/2
则要求x>3区域要落在x>[-1+根号(1-8a)]/2 内才能保证f(x)在(2/3,正无穷)上存在单调递增区间
即：2/3>=[-1+根号(1-8a)]/2
4/3+1>=根号(1-8a)
49/9>=1-8a
8a<=1-49/9=-40/9
a<=-5/9
又a<1/8时，联立得：a<=-5/9
综上a取值为：a>=1/8 or a<=-5/9

f(x)=1/3x³+1/2x²+2ax
f'(x)=x²+x+2a
若f(x)在(2/3,正无穷)上存在单调递增区间，则f'(2/3)≤0
即4/9+2/3+2a≤0
a≤-5/9

当a=-2/9时f′（x）在[2/3，+∞）上的最大值为0，
即x∈[2/3，+∞）时f′（x）≤0，
所以f（x）在[2/3，+∞）恒为减函数，不存在增区间.

求导，只要在该区间上导数始终大于0.