对称式和轮换对称式是什么？

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.

二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.

对称式的因式分解

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.

例7分解因式x4+(x+y)4+y4

分析 这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.

解 ∵x4+y4

=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2

=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.

∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4

=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2

=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]

=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,

例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).

此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.

因式定理 如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).

如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).

证明 设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

若f(a)=0,则

f(x)=f(x)-f(a)

=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)

=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)

=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),

由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),

∴(x-a)|f(x),

对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.

现在我们用因式定理来解例8.

解 这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.

∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

=-(a-b)(b-c)(c-a).

例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).

分析 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以

原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).

首先要说明的时，轮换式完整的叫法是轮换对称式。因为几何上对称除了轴对称之外，还有中心对称、旋转对称等，相应地，在代数里对称也有较多的对称。这与我们日常语言中的概念是有区别的。
下面指出轮换式和对称式的区别：对称式交换任意两个变量的值，结果不变，如x+y+z；
轮换对称式一定要轮换，例如x->y,y->z,z->x才能使结果不变，如(x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y，光换两个不行。
第二个问题是分解因式的应用，现举实例如下：
①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5
②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3
③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz
(1)
分析:
将原式看成X的多项式,可知
当X=－Y时,
原式=(－Y＋Y＋Z)^5－(－Y)^5－Y^5－Z^5
=0
所以原式有因式(X＋Y),因为是对称式，所以原式还有因式(Y＋Z),(Z＋X)
设原式=(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)[K(X^2＋Y^2＋Z^2)＋T(XY＋YZ＋ZX)]
令X=1,Y=1,Z=0,代入得
30=2(2K＋T);
令X=1,Y=－1,Z=0,代入得－30=－2(5K－2T)
解得K=5,T=5
所以原式=5(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)(X^2＋Y^2＋Z^2＋XY＋YZ＋ZX)
(2)
分析
设原式=[(2A＋2B＋2C)^3－(B＋C)^3]－[(C＋A)^3＋(A＋B)^3]
然后利用立方差和立方和公式展开,并令整理后的式子
=(2A＋B＋C)(M－N)
其中由轮换多项式可确定(M－N)中含有(A＋2B＋C),(A＋B＋2C)
比较系数的原式=3(2A＋B＋C)
(A＋2B＋C)(A＋B＋2C)
(3)分析
设X=Y＋Z,则有
原式=(X＋Y)^3＋Y^2(2Z＋Y)＋Z^2(2Y＋Z)－[(Y＋Z)^3＋Y^3＋Z^3]－2(Y＋Z)YZ
=(Y＋Z)^3＋2Y^2Z＋Y^3＋2YZ^2＋Z^3－(Y＋Z)^3－Y^3－Z^3－2Y^2Z－2YZ^2=0
所以原式有因式(Y＋Z－X),因为对称式，故也有因式(Z＋X－Y),(X＋Y－Z)
设原式=K(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)
其中K为待定系数,比较等式两边XYZ项的系数
右=K(1－1＋1－1－1－1)=－2K
，左=－2
所以解得K=1
所以原式=(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)
对称与轮换对称很重要，以后一直到大学都很有用。