如图，三角形ABC中，AB=AC,延长BC 到D,使CD=BC,CE垂直BD交AD于E,连接BE交AC于F,求证：AF=FC

过A做AG⊥BC交BE于H，交BC于G，连接CH

∵AG⊥BC  CE⊥BD

∴AG∥CE  

∴∠CAG=∠ACE

又∵AB=AC  AG⊥BC 即∠HGB=∠HGC=90°

  HG=GH

∴△BHG≌△CGH

∴∠EBD=∠HCB

∵CD=BC  CE⊥BD即∠ECD=∠ECB=90°

   EC=EC

∴△BCE≌△CDE

∴∠ADB=∠EDB=∠HCB

∴∠HCE=∠ECB-∠HCE=90°-∠HCB

∠DAG=∠AGD-∠ADB=90°-∠ADB=90°-∠HCB

即∠HCE=∠DAG

∴∠HCE-∠ACE=∠DAG-∠CAG

即∠HCA=∠CAE

∴AE∥HC

∴AECH是平行四边形

∴AF=FC

由EC垂直平分BD易得∠EBC=∠EDB
过A做BC垂线，交BE于M交BC于N，由于MN垂直平分BC易得BM=MC，
可得∠EBC=∠MCB，从而∠MCB=∠EDB得出MC∥AE；
又AN垂直于BD EC垂直于BD可得AM∥EC；
故AMCE为平行四边形，故AF=FC.

证明：取BC的中点H，连接AH，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC
∵CE⊥BD，
∴AH∥EC，
∵CD=BC
∴CD=2CH
∴DE=2AE，
取ED的中点M，连接CM
∵CE⊥BD，
∴M为ED中点，
∴ME=AE
∵C为BD 的中点，
∴CM∥BE，
∴F为AC中点．
∴AF=FC

解答：证明：取BC的中点H，连接AH，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC
∵CE⊥BD，
∴AH∥EC，
∵CD=BC
∴CD=2CH
∴DE=2AE，
取ED的中点M，连接CM
∵CE⊥BD，
∴M为ED中点，
∴ME=AE
∵C为BD 的中点，
∴CM∥BE，
∴F为AC中点．
∴AF=FC