1、李某的仲裁请求合法。单位按劳动合同法第三十九条（二）严重违反用人单位的规章制度解除劳动合同事由不符合。单位未同李某续签劳动合同。
2、李某主张2008年8月20日至2008年10月10日双倍工资。法律依据：劳动合同法第八十二条及有关案例。李某可主张单位继续履行合同（未签合同形成事实劳动关系按上期劳动合同执行）至2009年8月19日或主张单位违法劳动合同的赔偿金1.5*2=3个月工资的赔偿。法律依据：劳动合同法第八十七条。
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