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数列{an}满足a1=1⼀2,a2=1⼀6,an+a(n+1)+a(n+2)=3⼀【n(n+3)】,猜测an,并用数学归纳法证明

2024-11-28 21:57:34

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回答1：

a1=1/2=1/(1×2),
a2=1/6=1/(2×3),
a3=1/12=1/(3×4)
……
猜测 n≥2时
an＝1/[n(n+1)]
a(n-1)=1/[(n-1)n]
因为，a(n-1)+a(n)+a(n+1)=3/[(n-1)(n+2)]
所以，a(n+1)=3/[(n-1)(n+2)]-1/[(n-1)n]-1/[n(n+1)]
=1/[(n+1)(n+2)]
猜测成立
n＝1时，满足通项
所以，an＝1/[n(n+1)]

回答2：

an＝1╱n2＋n