计算二重积分 ∫∫x(1+yf(x^2+y^2))dxdy,积分区间是由y=x^3,y=1,x=-1围成

积分区域是图中橙色部分与蓝色部分合起来，现作辅助线y=-x³，将区域分为橙色与蓝色两部分：

∫∫x(1+yf(x²+y²))dxdy。

=∫∫xdxdy+∫∫xyf(x²+y²))dxdy。

对于橙色部分，区域关于y轴对称，而xyf(x²+y²))关于x是奇函数，因此积分为0。

对于蓝色部分，区域关于x轴对称，而xyf(x²+y²))关于y是奇函数，因此积分为0。

对于橙色部分，区域关于y轴对称，而x关于x是奇函数，因此积分为0。

=∫∫xdxdy    积分区域为蓝色区域。

=∫[-1---->0] ∫[x³---->-x³] xdy dx。

=-2∫[-1---->0] x⁴ dx。

=(-2/5)x⁵ |[-1---->0]。

=0-2/5。

=-2/5。

定义：

设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即。

这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号。

同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

积分区域是图中橙色部分与蓝色部分合起来，现作辅助线y=-x³，将区域分为橙色与蓝色两部分

∫∫x(1+yf(x²+y²))dxdy

=∫∫xdxdy+∫∫xyf(x²+y²))dxdy

对于橙色部分，区域关于y轴对称，而xyf(x²+y²))关于x是奇函数，因此积分为0

对于蓝色部分，区域关于x轴对称，而xyf(x²+y²))关于y是奇函数，因此积分为0

对于橙色部分，区域关于y轴对称，而x关于x是奇函数，因此积分为0

=∫∫xdxdy    积分区域为蓝色区域，下面你应该会做了吧

=∫[-1---->0] ∫[x³---->-x³] xdy dx

=-2∫[-1---->0] x⁴ dx

=(-2/5)x⁵ |[-1---->0]

=0-2/5

=-2/5