51问答网 > 设函数f(x)连续,且∫ x0tf(2x-t)dt=1⼀2arctanx2,已知f(1)=1,求∫21f(x)dx的值。

设函数f(x)连续,且∫ x0tf(2x-t)dt=1⼀2arctanx2,已知f(1)=1,求∫21f(x)dx的值。

X 、0 以及2 、1都是上下限啊，求高数解答，要步骤。谢谢，

2025-02-25 06:05:51

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回答1：

第一个积分做变量替换2x-t=y，d(t)=--dy，y从2x到x，于是等式化为
积分（从x到2x）(2x--y)f(y)dy=2x积分（从x到2x）f(y)dy--积分（从x到2x）yf(y)dy=0.5arctanx^2，求导得2积分（从x到2x）f(y)dy+2x(2f(2x)--f(x))--(4xf(2x)--xf(x))=x/(1+x^4)，化简得
2积分（从x到2x）f(y)dy--xf(x)=x/(1+x^4)，令x=1利用已知条件得
要求积分值=3/4。