根据上述现象可以得出如下的结论：
1．各横线代表的横截面在变形后仍为平面，仍垂直于杆轴，只是沿轴向作相对的移动。
2．各纵线代表的杆件的纵向纤维都伸长了相同的长度。
根据材料的均匀连续假设，当变形相同时，受力也相同，因而知道横截面的内力是均匀分布的，且方向垂直于横截面，由此可得出结论：轴向拉伸时，杆件横截面上处产生正应力，且大小相等，若用A表示横截面的面积，N表示该截面的轴力，则正应力的计算公式为：σ＝N/A。
当杆轴受压缩时，公式同样适用，只是此时的轴力应为负数。另外，在应用公式时杆的截面积应相同，即应为等截面直杆，否则应分段考虑。
例12-1：如图12.1.2a所示一变截面直杆，横截面为圆形，d1＝200mm，d2＝150mm，承受轴向载荷F1＝30kN，F2＝100kN的作用，试求各段截面上的正应力。
图12.1.2a 图12.1.2b
解：1）计算轴力：AB段的轴力：NAB＝－F2＋F1＝－70kN（压）
BC段的轴力：NBC＝F1＝30kN（拉）
画出轴力图如图12.1.2b所示。
2）求横截面面积
AB段的横截面积：
BC段的横截面积：
3）计算各段正应力
AB段的正应力：
BC段的正应力：
负号表示AB上的应力为压应力。
二、材料的强度极限
前面讨论了杆件横截面的正应力，要判断它会不会破坏，还需要知道材料的承受能力，这就需要了解材料的力学性能，即在外力作用下材料所表现出来的物理性质，又叫材料的机械性能。
(一)低碳钢在轴向拉伸时的力学性能
低碳钢拉伸时的力学性能用实验的方法研究。实验时采用国家规定的标准试件，试件的几何尺寸如图12.1.3所示，试件中间工作部分的长度叫标距l。
图12.1.3
将试件夹在实验机 （图12.1.4）上，逐渐增加拉力后试件逐渐伸长，记录拉力P和伸长量 的数值，直到拉断为止。以拉力为纵坐标伸长量为横坐标，将两者的关系按一定的比例绘制成曲线，称为拉伸图，如图12.1.5所示。由于伸长量与标距及横截面的大小有关，使得相同的材料由于试件的尺寸不同得到的拉伸图也不同。为消除截面积和标距的影响，将纵坐标除截面积，用应力来表示，横坐标除以标距，用应变来表示。这样的曲线称应力应变图，如图12.1.6所示。一般实验机上都有自动的绘制装置，在实验过程中能自动绘出拉伸图。
图12.1.4 万能材料试验机
图12.1.5 拉伸图
图12.1.6 应力应变图
整个拉伸过程是连续的，为了研究的方便，将拉伸分为四个阶段，即弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。
1.弹性阶段
图中OB段，在弹性阶段时应力和应变成正比，应力应变图为一段斜线，把弹性阶段的最高点对应的应力叫弹性极限。用σp来表示。
2.屈服阶段
图中BC段，当应力超过弹性极限时，应变增加很快，应力在很小的范围内波动，应力应变图中是一段接近水平的锯齿形。这种应力基本不变应变显著增加，好象材料对外力屈服一样的阶段称屈服阶段。其中应力的最小值称屈服极限。用σs来表示。
材料达到屈服极限时，由于发生了较大的塑性变形，导致零件失效（不能正常工作）。45钢的屈服级限约为360MPa。
3.强化阶段
图中CG段，屈服阶段以后，材料重新产生了抵抗变形的能力，图12.1.6中上凸的曲线表明若要试件继续变形，必须增加应力，这一阶段称强化阶段。曲线最高点G所对应的应力称为强度极限，以σb表示。45钢的强度级限约为610MPa。
4.颈缩阶段
图GH段， 当应力到达强度极限之后，在试件薄弱处将发生急剧的局部收缩，出现“颈缩”现象。如图12.1.7所示。由于颈缩处截面面积减小，试件继续变形所需的拉力P也相应减少，用原始截面面积A算出的应力值也随之下降，曲线出现了GH段形状。至H点试件被拉断。
图12.1.7 颈缩现象
上述低碳钢拉伸的四个阶段中，有三个有关强度性质的指标，即比例极限σp、屈服极限σs和强度极限σb，σp表示了材料的弹性范围；σs是衡量材料强度的一个重要指标，当应力达到σs时，杆件产生显著的塑性变形，使得无法正常使用；σb是衡量材料强度的另一个重要指标，当应力达到σb时，杆件出现颈缩并很快被拉断。
（二）塑性指标
试件断列裂后，变形中的弹性部分随着荷载的消失而消失了，塑性变形残留了下来，试件断裂后所遗留下来的塑性变形的大小，常用来衡量材料塑性性能。塑性性能的指标有两个，分别是伸长率δ和截面收缩率ψ。
1.伸长率δ
试件拉断后的标距长度l减去原来的标距长度l，除以原标距l的百分比，叫伸长率。
45钢的伸长率为16%。工程上按伸长率的大小将材料分为两类， %的材料称塑性材料，如低碳钢、铝、铜等； %的材料称脆性材料，如铸铁、玻璃、石料等。
2、断面收缩率ψ
试件断裂后断裂处的最小截面积用A1来表示，则断面收缩率
45钢的断面收缩率为40%。
(三)铸铁拉伸时的力学性能
铸铁是典型的脆性材料，其拉伸时的应力应变图见图12.1.8所示，图中没有明显的直线部分， 从很低应力水平开始就是曲线，采用割线弹性模量。没有屈服、强化、局部变形阶段，断裂时的应力就是强度极限σb，强度极限σb是脆性材料的唯一的强度指标 。铸件的伸长率非常小，拉伸强度σb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。
图12.1.8
（四）低碳钢压缩时力学性能
图12.1.9中的 实线为低碳钢压缩时的应力应变曲线，虚线为其拉伸时的应力应变图，比较两者可以发现，在屈服阶段以前两曲线完全重合，在屈服阶段以后，压缩时的应力曲线是个无限向上的曲线。说明低碳钢压缩时的弹性极限、屈服极限同拉伸时的相同，压缩时由于压力增加，试件越压越扁，因此没有强度极限。
图12.1.9
（五）铸铁压缩时的力学性能
图12.1.10是铸铁压缩时应力应变曲线，与拉伸时相比较，形状相似，但压缩时的强度极限是拉伸时的4-5倍，伸长率也比拉伸时大，其他脆性材也有类似的性质，因此，脆性材料适用于受拉的构件。
铸铁被压断后，破坏面与轴线大致成45 -55 ，即在最大切应力所在的面上破坏，说明了铸铁的抗剪切强度低于抗拉压强度。
图12.1.10
三、许用应力
任何材料都有其能够承受的最大的应力，我们称为极限应力σlim，对于塑性材料，当应力达到屈服极限时，就发生显著的塑性变形，导致零件的失效，因此应取屈服极限为极限应力；对于脆性材料，达到强度极限时引起断裂，因此取强度极限为极限应力。即：
塑性材料：
脆性材料：
在实际工作中，有许多不利的因素无法估计，如其外力的作用、突然的振动冲击等，设计零件时只满足应力不超过极限应力不行的，往往需要留一定的安全储备，规定一个许用应力[σ]，要求工作应力不仅小于材料的极限应力，而且要小于许用应力。不同工作场合，要求的安全储备大小是不一样的，重要的场合安全储备必须大一点，安全储备的大小用安全系数n来衡量，三者的关系如下：
安全系数S为大于1的数，确定安全系数必须考虑载荷的性质、材料的均匀程度、工作条件等。在一般工程中，脆性材料的均匀性较差，断裂也比较突然，没有明显的“颈缩”，因此，脆性材料的安全系数应比塑性材料的大。
塑性材料：
脆性材料：
四、强度计算
轴向拉伸和压缩时工作应力的最大值不得超过材料的许用应力，这就是轴向拉伸和压缩时的强度条件。即：
式中：σmax表示最大工作应力；
N表示最大工作应力对应横截面的轴力；
A表示最大工作应力对应横截面的面积；
[σ]为材料的许用应力。
我们把有最大工作应力的截面称为危险截面。显然，强度条件只有对危险截面才有实际的意义。对于等直杆，轴力最大的截面正应力也最大；对于截面直径变化的杆件，如阶梯轴，当轴力相同时，截面积最小的截面正应力最大，但当轴力不同时，需要分段计算各段的应力后，通过比较得出最大的正应力，即找出危险截面。
根据强条件可以解决工程实际中有关强度的三类问题：
1．强度校核 已知N、A、[σ]，代入强度条件（式12-5）验算工作时的最大应力σmax，如果小于材料的许用应力[σ]，强度即为合格。否则，强度不合格。
2．设计截面 已知N、[σ],可计算构件所需的截面积，即
根据A可进一步求出直径d等其它尺寸。
3．确定许可载荷 已知A、[σ],可计算构件能够承受的最大的轴力，即
例12-2：气动夹具如图12.1.11所示，已知气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa，活塞杆材料为20钢，[σ]=80MPa,试设计活塞杆的直径，
解：活塞杆两端受拉力，发生轴向拉伸变形，轴力可以由气体的压强求出，再利用N、[σ]就可以设计截面。
1．计算轴力
kN
2.设计截面
mm
根据 ，得出 mm
因此，取d mm
图12.1.11
注意在解题目过程中，应首先判断问题是要设计截面，然后设法去求轴力，轴力利用压强可以求出，问题得到解决。另外要注意物理量的单位换算，当轴力、长度用N和mm时，应力的对应单位是MPa.
五、应力集中
等截面直杆受轴向拉伸和压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。但许多构件的截面尺寸有突然的变化，例如图12.1.12a、b所示的直杆上，横截面尺 寸发生了突然的变化，此处的应力会不会是均匀分布的呢？经过理论的分析可以得出截面变化处应力的分布情况，可见在截面尺寸变化附近的局部区域内，应力的数值显著增大，而在稍远处又迅速降低趋于均匀。这种由于构件外形的变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
参看附图
分析：本实例虽然是立杆，但与悬臂梁的受力是一样的，可以当做悬臂梁来计算
最大弯矩（在完成面处）M=FL=1.5kN×1.125=1687.5Nm
危险截面（在完成面处）A=80×10=800mm^2
危险截面应力Fmax=M/A=1687.5/800=2.1×10^6
如果这样的立柱只有一根的话，这个结果有点大，也就是说很危险
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