51问答网 > ∫(o,+∞) 1⼀(1+x∧4) dx=∫(o,+∞) x²⼀(1+x∧4) dx=2½ π⼀4

∫(o,+∞) 1⼀(1+x∧4) dx=∫(o,+∞) x²⼀(1+x∧4) dx=2½ π⼀4

2025-01-04 22:46:12

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回答1：

第二个积分做变量替换x=1/t，x趋于无穷对应t趋于0，x趋于0对应t趋于无穷，dx=--dt/t^2，因此可知两个积分相等，于是
两个积分都等于积分和的一半=
1/2*积分（从0到无穷）(1+x^2)/(1+x^4)dx 分子分母同除以x^2
=0.5积分（从0到无穷）(1+1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx
=0.5积分（从0到无穷）d(x--1/x)/【(x--1/x)^2+2】
=0.5/根号(2)*arctan(x--1/x)/根号(2)|上限无穷下限0
=根号(2)/4*(pi/2+pi/2)

∫(o,+∞) 1⼀(1+x∧4) dx=∫(o,+∞) x&sup2;⼀(1+x∧4) dx=2&frac12; π⼀4

∫(o,+∞) 1⼀(1+x∧4) dx=∫(o,+∞) x²⼀(1+x∧4) dx=2½ π⼀4