2011新课标高考理数21题 我的解法

解：这题你的不能说有错。我的揭发如下。

(1) 切线方程变形为 y=(-1/2)(x-1)+1

可见斜率k=-1/2, f(1)=1

f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2

已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2   即a-2b=-1     (1)

f(1)=b=1           

代入(1)得   a=1

(2) 当x>0时  f(x)=lnx/(x+1)+1/x

f(x)-lnx/(x+1)-k/x=(1-k)/x>0

只要1-k>0即可

所以k<1

不过，(1) 切线方程变形为 y=(-1/2)(x-1)+1

可见斜率k=-1/2, f(1)=1

f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2

已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2   即a-2b=-1     (1)

f(1)=b=1           

代入(1)得   a=1

(2) 当x>0时  f(x)=lnx/(x+1)+1/x

f(x)-lnx/(x+1)-k/x=(1-k)/x>0

这种方法得出来的和你一样。但是，还有别的方法。

这样就可以了

解：f(1)=b,
由题，x+2y-3=0过点(1,b)
代入解得b=1
相切，有f'(a)=a/2-b=a/2-1=-1/2
解得a=1
故f(x)=lnx/(x+1) +1/x
x>0且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x
整理得
k<1-2xlnx/(x-1)(x+1)在x>0且x≠1时恒成立
设h(x)=xlnx/(x-1)(x+1),原问题等价于求h(x))在x>0且x≠1上最大值
h'(x)=[-x²lnx-lnx+x²-1]/(x²-1)²
令g(x)=-x²lnx-lnx+x²-1
g'(x)=2x-2xlnx-x-1/x
g"(x)=1/x²-2lnx-1
g'"(x)=-2/x³-2/x<0
故g"在定义域内↓，g"(1)=1-1=0
00.g'↑；1 g'(x) 00.h'>0,h↑；1 h(x) 从而1-h(x)>1/2
于是k的取值范围是（-∞，1/2）