求质数公式和证明

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质数公式和证明

质数公式及其证明

定理：以任质数P为指数，以“2”为底，其幂除以该指数P本身，余数为“2”。这是质数的独具特性。公式（25）是一个连续无穷数列，它的终止于任前一节的数作指数除终止于后一节数，余数始终为“1”，所以（25）式是质数公司。
关键词
当县仅当P质数，2P÷P＝t＋ 成立，t、P都是整数。
质数公式。
引 言
自费马提出质数公式概念，至今已经近四百年了。四百年来，不少数学爱好者终身于此探索，至今未获成功。今我历数年探索，于1978年给出并证明了质数公式。它的获得，源自于质数自身具有的一个性质，这就是：任意质数，如果以它为指数，以“2”为底，则其幂除以该质数自身，余数为“2”。换句话：一个数是否是质数，只要以“2”为底，以此数为指数，并以此数除幂，看其余数是否是“2”。
定理：P是任意质数，以P为指数，“2”为底，则有P除2P，余数为“2”。这是质数的独有特性。
即公式 ＝t+ ，当且仅当P是质数时，y=2。 （1）
证：设p、y、n、m、a、b、d、v、e是任意正整数。
n>b、m>b、n>a、m>a、m=(n+1)、p=ab=m+n、2n=(dab+v)当p=复正整数时，有且必有 ，y=v≠2
证一：公式 ＝t+ ，当y=2时，p=ab=奇正整数复数。
假设：公式 ＝t+ ，当y=2时，p=ab=偶正整复数。由 ，我们得：
＝ = + =(t + )+(t + ) (2)
即： =t + 由 =t+ ,y=2得y =1成立。
此时，由“2p-1”是以“2”为底，“p－1”为指数的幂，“2”是偶数，所以2p-1是偶正整数。由：奇正整数＋奇正整数=偶正整数（3）得y1是奇正整数。t1×p也是奇正整数。
即：t1p+y1=2p-1=偶正整数。 (4)
又由：奇正整数×奇正整数＝奇正整数 (5)
得p=ab，p是奇正整数，由此得ab也是奇正整数，由P=ab,ab是奇正复整数，得a和b都是奇正整数成立。这同我们原设p=ab=偶正整数矛盾。所以，当公式 ＝t+ ＝t+ ,y =2。时p=ab=奇正整复数。
证二：公式 =t+ ，当p=ab=奇正整数时，y≠2。我们将p=ab=(m+n)，2 =(dab+v)带入(1)式得到下列公式：
=t+ = =t + = = =2md+
=2md+ =2md+2dv+ (6)
将(6)式分别乘以a、b得：
=2 da+2dva+ (7) =2 db+2dvb+ (8)
我们再将P=ab,2a(d2ab+v)带入（1）式得：
=t+ = =t + + =
= (9)
我们设(9)式的整式部分t2=Q则(9)式可写作
=t+ =t + =Q+ (10)
我们再将(10)分别乘a、b得：
=Qa+ (11) =Qb+ (12)
我们再将2 =(d ab+v )带入(1) 得：
= = =Q + (13)
我们再将(13)式分别乘以a、b得：
=Q a+ (14) =Q b+ (15)
此时有(7)、(8)、(11)、(12)、(14)、(15)式的余式为：
、 ； 、 ； 、 ；
式中V、V 、V 各不相等。 余式 ； 的余式 ； 的余式 。如果某数(2 ,P=ab的某数),满足公式 =t+ ,y=2那么就有且必有：
V －2|ab；V －2ab；2V －2|ab；2V －2|a；2V －2|b；
V －2|a；V －2|b；V －2|a；V －2|b； (17)
同时成立。
我们知道：2 =2 2 2 ……2 (18)
(此处为设定，如果设定为2 也可以)。就是说：2 是： 个2 的连乘积再乘以 个“2”的连乘积。所以，2 余数相对于2 的余数来说，2 的余就是2 的余数的2 倍(同除以一个数)。得(10)、(12)式乘以2 得
2 ( ) 2 ( ) (19)
既 的余数应和2 ( )相等， 的余数和2 ( ) 相等。因此，由（17）式的成立我们应得：
2 (V －2)|b；2 (V －2)|a (20)
得：V －2|b 2 (V －2)|b (21)
V －2|a 2 (V －2)|a (21)
成立。然而，（21）式 、（22）式我们不难看出，等式两边并不相等。既：(V －2)|b (2 V －2 )|b (23)
(V －2)|a (2 V －2 )|a (24)
这同我们原设2p、a、b、v都是正整数矛盾。所以，公式（1） ＝t+ ，当p=ab时，y≠2。所以，公式 ＝t+ ，当y=2时，p是质数成立证毕。
定理二：公式

是质数公式。 (25)
证：(25)式n确定时，其指数除幂，余数为“1”。所以，由定理一有(25)式是质数公式。

由(27)式成立和p是质数Z ÷p=t+ 成立得：

式中(a)为正整数，直到p-aq=1为止（其余字母均为正整数）。所以(25)式是质数公式。
证毕。

现在还没有一个能很好地生成质数，或者快速判断一个数是否为质数的公式。
不过，有许多可以用以判断质数的近似公式，在一定的数字范围内，它们是有效的。现在市面上常见到的数学软件（如Mathematica）就利用了这些近似公式，在不同的数字范围内用不同的公式求解，以达到最佳的效率。
这方面的细节我也不清楚，有需要的话可以找找计算数论方面的书籍。