51问答网 > 设函数f(x)=ax+x⼀x-1 (x>1),若a是从1 ，2 ，3三个数中任取一个数，b是从2 ，3 ，4， 5四个数中任取一个数

设函数f(x)=ax+x⼀x-1 (x>1),若a是从1 ，2 ，3三个数中任取一个数，b是从2 ，3 ，4， 5四个数中任取一个数

求：1. f(x)的最小值 2. f(x)>b恒成立的概率

2024-12-27 07:26:22

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回答1：

f(x)=ax+x/x-1=ax+(x-1+1)/(x-1)=ax+1+1/(x-1)=a(x-1)+1/(x-1)+a+1>=2√a+a+1（x>1)
1.当a分别取1，2，3时，f(x)的最小值分别是4，3+2√2，4+2√3.
2.a=1，b=2，3时f(x)>b恒成立，b=4，5时不能恒成立；a=2，3，b=2,3,4,5，f(x)>b都恒成立，
所以f(x)>b恒成立的概率是10/12=5/6.

回答2：

a=1时:f(x)=x+1+1/(x-1),f'(x)=1-1/(x-1)^2。f'(x)在(1,2)上恒小于零，(2,+∞)上恒大于零，所以f(x)min=f(2)=4.4>b的概率等于1/2,因为a是三取一所以概率再乘以1/3得1/6.a=2时：f'(x)=2-1/(x-1)^2....推得f(x)min=f(1+√2/2)=3+2√2>5，所以此时f(x)min>b概率为1，再乘1/3得1/3；a=3时可推得f(x)min=f(1+√3/3)=4+2√3>5，所以还是1/3.综上可知：总概率=1/6+1/3+1/3=5/6.