求f=arctanx的n阶导数在x=0处的值

因为f(x)=arctanx

f'(x)=1/(1+x²)=1-x²+x^4-x^6+.....

积分得：f(x)=x-x³/3+x^5/5-x^7/7+...

对比f(x)=∑f^(n)x^n/n!

得：当n为偶数2k时，f^n(0)=0

当n为奇数2k+1时，f^n(0)=(-1)^k*(n-1)。

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

因为f(x)=arctanx

f'(x)=1/(1+x²)=1-x²+x^4-x^6+.....

积分得：f(x)=x-x³/3+x^5/5-x^7/7+...

对比f(x)=∑zhif^(n)x^n/n!

得：当n为偶数2k时，f^n(0)=0

当n为奇数2k+1时，f^n(0)=(-1)^k*(n-1)!

扩展资料：

从理论上看，逐次应用一阶导数的求导规则就可得到高阶导数相应的运算规则。然而，对于和、差的导数计算的线性规则，这种推导是方便的，而对乘积求导的非线性运算规则，其推导过程和结果就未必简单了。

导数阶数越高，相应乘积的导数越复杂，但其间却有着明显的规律性，为归纳其一般规律，乘积的 n 阶导数的系数及导数阶数的变化规律类似于二项展开式的系数及指数规律。

因为f(x)=arctanx

f'(x)=1/(1+x²)=1-x²+x^4-x^6+.....

积分得：f(x)=x-x³/3+x^5/5-x^7/7+...

对比f(x)=∑f^(n)x^n/n!

得：当n为偶数2k时，f^n(0)=0

当n为奇数2k+1时，f^n(0)=(-1)^k*(n-1)!

扩展资料

某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

求极限基本方法有

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

因为f(x)=arctanx
f'(x)=1/(1+x²)=1-x²+x^4-x^6+.....
积分得：f(x)=x-x³/3+x^5/5-x^7/7+...
对比f(x)=∑f^(n)x^n/n!
得：当n为偶数2k时，f^n(0)=0
当n为奇数2k+1时，f^n(0)=(-1)^k*(n-1)!

在x=0处，f（x）=arctanx的一阶导数为1，二阶及偶数阶导数为0，
当n为奇数时,在x＝0处的n阶导数是：（－1）^[（n-1）/2]× （n-1）!