怎么证明曲边梯形的面积等于定积分？ 下面的式子是怎么推出来的？

我们把曲边梯形放到坐标系中（梯形的一个底边与y轴重合）
将在坐标系中用平行于y轴的线将曲边部分面积平均分成 n 份（即n份又长又窄的曲边梯形）并令 λ=1/n ，第 i 份的宽度为 xi+1-xi （i+1、i 均为下标）， 曲边的方程为f（x）
那么n份中的每一份 总可以在其对应的曲边上找到一点x=ξi 使这份小曲边梯形的面积=f（ξi）*△x i 所以整个曲边部分的面积为：∑ f（ξi）*△x i （i 从1到n求和），而当n趋向于无穷大时 即上面的公式了！

定积分的概念：引例 曲边梯形的面积
(1)分割: 把区间[a,b]分成n个小区间,[x。，x1],[x1,x2]…[x(n-1),xn] 各小区间长度 ΔXi=Xi-X(i-1) (2)近似：个小区间面积 =底×高 ΔAi≈f(ξi) ΔXi
(3)求和：把n各小矩形的面积相加得到整个曲边梯形的面积A的近似值， A≈∑(i=1~n)f(ξi) ΔXi(4)取极值：λ是小区间，可以看出当λ越来越小时，分割越来越细。 A≈lim<λ→0>∑(i=1~n)f(ξi) ΔXi

请参看下面的图解说明：

这和极限的思想是一致的，你如果能理解前两位中的求积分所用的微元法，再运用极限的思想，二者就等同了，good luck~