高一数学函数题

解:分情况讨论
(1)当a<0,b<0时,f(x)当x=a时取得最小值,当x=b时取得最大值,所以-1/2a^2+13/2=2a,-1/2b^2+13/2=2b,所以a,b是方程x^+4x-13=0的两根,因为a<0,b<0,所以ab>0,而由根与系数的关系有ab=-13,矛盾.
(2)当a≥0时,当x=a时取得最大值,当x=b时取得最小值,所以-1/2a^2+13/2=2b,-1/2b^2+13/2=2a,两式相减得-1/2(a^2-b^2)=2(b-a),因为b-a>0,所以b+a=4,所以-1/2a^2+13/2=2(4-a),解得a=1或a=3,当a=1,b=4-a=3,符合题意,当a=3时,b=4-3=1,与b>a矛盾,舍去.
这时区间为[1,3]
(3)当a<0,b≥0时,这时当x=0取得最大值,所以13/2=2b,b=13/4,若当x=a时取得最小值,则有-1/2a^2+13/2=2a,解得a=-2-根号17,满足题中条件,
若x=13/4时取得最小值,则有2a=-1/2(13/4)^2+13/2,解得a=64/39,与a<0矛盾,舍去.
综上所述,区间[a,b]为[1,3]与[-2-根号17,13/4]