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高二数学试题（理科）
上学期期末考试
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一．选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个答案中，只有一项符合题目要求）
1. 复数 (i为虚数单位)的值为 （ ）
A．0 B．2i C． 4i D．4i
2. 的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2
3．设随机变量X是离散型随机变量, X∽B(n，p)且EX=1.6， DX =1.28，则数对(n，p)的取值为 ( )
A．(8，0.2) B．(5，0.32) C．(7，0.45) D．(4，0.4)
4．把10本不同的书任意放在书架上，其中指定的3本书相邻的概率为 ( )
A． B． C． D．
5．曲线 在点 处的切线方程为 ( )
A． xy2=0 B． x+y2=0 C．x+4y5=0 D．x4y5=0
6. 某中学拟安排 名实习老师到高一年级的 个班实习，每班 人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共 ( )
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
7. 8788+7除以88的余数是 ( )
A．0 B．1 C．8 D．80
8．设P是双曲线 右支上的一个动点， F1， F2为左右两个焦点，在PF1F2中，令PF1F2=， PF2F1=， 则 的值为 ( )
A． B．322 C．3 D．与P的位置有关的变数

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二．填空题：（本大题共7个小题，每小题5分，共35分把答案填在题中的横线上）
9. 函数f (x)=x•ex的导函数f (x)=__________．
10. 用反证法证明命题：“三角形的三内角中至少有一个不大于60度”时，反设是
“假设三角形的三内角_______________．”
11．设随机变量的分布列为P(X=k)= (k=1，2，3，4)，则常数c的值为_________．
12．已知f (x)是一次函数， 且f (x)=2x+ ，则函数f (x)的表达式是________ ．
13．在平面几何里，有勾股定理：“设 的两边AB，AC互相垂直，则 ．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A--BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则__________________________．”
14．在平行六面体 中， ，
则 _____________．
15．设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点等可能地移向另外三个顶点中的一个顶点．现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是奇数，则棋子不动；若投出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点．若棋子的初始位置在顶点A，则投了2次骰子，棋子才到达顶点B的概率是_______；投了3次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率是__________．
三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.（本小题满分12分）
已知nN*， =anxn+an1xn1+…+a1nx1n+anxn展开式中的常数项为160．
(Ⅰ)求n的值；
(Ⅱ)求an+an2+…+a2n+an的值．

17．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足：a1=1， ．
(Ⅰ)求a2，a3，a4的值，并猜an的表达式；
(Ⅱ)证明你的猜想．

18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ，点 在底面的射影 在 上，且 ， ． 为 的中点．
（Ⅰ）证明 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成的角．

19.（本小题满分13分）
某人在同一城市开了两家小店，每家店各有 名员工．节日期间，每名员工请假的概率都是 ，且是否请假互不影响．若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂 人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业．计算：
（Ⅰ）有人被调剂的概率；
（Ⅱ）停业的店铺数X的分布列和数学期望．

20．（本小题满分13分）
已知椭圆C的长轴的两个端点分别为 ， ，过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3， 点P是椭圆C上异于A， B的一动点，直线AP，BP与直线l：x=a (Fl)分别相交于M， N两点，记直线FM，FN的斜率的乘积为u ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）对于给定的常数a，证明u是一个与P的位置无关的常数；
(Ⅲ)当a变化时， 求u的最小值．

21.（本小题满分13分）
已知函数f (x)=a[lnx−ln(1−x)]−2x( 0（Ⅰ）若函数f (x)是单调函数， 求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求f (x)=0在区间(0 ，1)内的根的个数．

期 中 考 试 答 题 卷
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二．填空题
9. ； 10. ； 11. ___ ；12. ；
13. __________________；14. ；15. _； ____；
三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.（本小题满分12分）

17.（本小题满分12分）

18.（本小题满分12分）

19.（本小题满分13分）

20.（本小题满分13分）
21.（本小题满分12分）

高二期中考试数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一．选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个答案中，只有一项符合题目要求）
1. 复数 (i为虚数单位)的值为 （ C ）
A．0 B．2i C． 4i D．4i
2. 的值为（ C ）
A．0 B．2 C．4 D．2
3．设随机变量X是离散型随机变量, X∽B(n，p)且EX=1.6， DX =1.28，则数对(n，p)的取值为 ( A )
A．(8，0.2) B．(5，0.32) C．(7，0.45) D．(4，0.4)
4．把10本不同的书任意放在书架上，其中指定的3本书相邻的概率为 ( D )
A． B． C． D．
5．曲线 在点 处的切线方程为 ( B )
A． xy2=0 B． x+y2=0 C．x+4y5=0 D．x4y5=0
6. 某中学拟安排 名实习老师到高一年级的 个班实习，每班 人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有( B )
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
7. 8788+7除以88的余数是 ( C )
A．0 B．1 C．8 D．80
8．设P是双曲线 右支上的一个动点， F1， F2为左右两个焦点，在PF1F2中，令PF1F2=， PF2F1=， 则 的值为( A )
A． B．322 C．3 D．与P的位置有关的变数
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二．填空题：（本大题共7个小题，每小题5分，共35分把答案填在题中的横线上）
9. 函数f (x)=xex的导函数f (x)= (1+x)ex．
10. 用反证法证明命题：“三角形的三内角中至少有一个不大于60度”时，反设是
“假设三角形的三内角都大于60度_.”
11．设随机变量的分布列为P(X=k)= (k=1，2，3，4)，则常数c的值为 ．
12．已知f (x)是一次函数， 且f (x)=2x+ ，则函数f (x)的表达式是 2x4 ．
13．在平面几何里，有勾股定理：“设 的两边AB，AC互相垂直，则 ．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A--BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则 ．”
14．在平行六面体 中， ，
则 ．
15．设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点等可能地移向另外三个顶点中的一个顶点．现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是奇数，则棋子不动；若投出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点．若棋子的初始位置在顶点A，则投了2次骰子，棋子才到达顶点B的概率是 ；投了3次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率是 ．
三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.（本小题满分12分）
已知nN*， =anxn+an1xn1+…+a1nx1n+anxn展开式中的常数项为160．
(Ⅰ)求n的值；
(Ⅱ)求an+an2+…+a2n+an的值．
解(Ⅰ)：通项为Tr+1=Cnr(2x)nr(x1)r=(1)r2nrCnrxn2r． ………(2分)
由条件可知n=2r，故(1)r2rC2rr= 160， ………(4分)
求得r=3，从而n=6． ………(6分)
(Ⅱ)取 x=1，有a6+a5+ a4+…+a4+a5+a6=1， ………(8分)
取x=1，有a6a5+ a4+…+a4+a5+a6=1， ………(10分)
以上两式相加有：a6¬+a4+…+a4+a6=1． ………(12分)
17．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足：a1=1， ．
(Ⅰ)求a2，a3，a4的值，并猜an的表达式；
(Ⅱ)证明你的猜想．
解(Ⅰ)：求得a2= a3= ，a4= ． ………(3分)
猜an （nN*）． ………(6分)
(Ⅱ)(1) n=1时，a1=1， ，等式成立，
(2)设n=k(k1)时，等式成立，即ak= ，
则
因此n=k+1时等式成立．
由(1)，(2)可知，nN*，有：an ………(12分)

18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ，点 在底面的射影 在 上，且 ， ． 为 的中点．
（Ⅰ）证明 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成的角．
解（Ⅰ）证明 由题意可知， 平面 ，
平面 ，
所以平面 平面 ．
又因为 ，所以 平面 ． ……（5分）
（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图，由题设条件，相关各点的坐标分别是 ， ， ， ， ，
则 ， .……（7分）
设 是平面 的一个法向量，
由 得 .
取 ，得 .……（9分）
又 ，所以 ．……（11分）
从而直线 与平面 所成的角是 ． ……（12分）

19.（本小题满分13分）
某人在同一城市开了两家小店，每家店各有 名员工．节日期间，每名员工请假的概率都是 ，且是否请假互不影响．若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂 人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业．计算：
（Ⅰ）有人被调剂的概率；
（Ⅱ）停业的店铺数X的分布列和数学期望．
解 （Ⅰ）设某人所开的两家小店分别为 和 ，分别记 、 的员工全部请假为事件 ， 、 的员工有1人没有请假为事件 ， 、 的员工都没有请假为事件 ， 、 的员工至少有 人没有请假为事件 ． ……（1分）由已知有， ， ，
， ．…（5分）
有人被调剂的概率为
． ……（6分）
（Ⅱ）X的可能取值为 , , ．

，
，
． ……（11分）
所以，X的分布列是
X

X的期望 = ． ……（13分）

20．（本小题满分13分）
已知椭圆C的长轴的两个端点分别为 ， ，过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3， 点P是椭圆C上异于A， B的一动点，直线AP，BP与直线l：x=a (Fl)分别相交于M， N两点，记直线FM，FN的斜率的乘积为u ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）对于给定的常数a，证明u是一个与P的位置无关的常数；
(Ⅲ)当a变化时， 求u的最小值．
解（Ⅰ）由已知可设椭圆方程为 ，则 ，其焦点坐标为 ，由 得 ，从而过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，由题设 =3，所以 ，故所求的椭圆方程为 ． …………(4分)
（Ⅱ）求得右焦点F的坐标为(1，0)，
设P的坐标为(x0，y0)，则 …………(5分)
直线AP的方程为 ，它与l的交点为M ，
直线BP的方程为 ，它与l的交点为 ．…………(7分)
因此 ，
它是一个与点P的位置无关的常数． …………(9分)
(Ⅲ)解法1： ， …………(12分)
“=”当且仅当a+2=3a6，即a=4时成立，
故u的最小值为1． …………(13分)
解法2：求得： ． …………(10分)
故a(,1)时, u为增函数;a(1,4)时,u为减函数;a[4,+)时,u为增函数. …(12分)
u极小=u|a=4= 1,但a时, u1,
故u的最小值为1． …………(13分)

21.（本小题满分13分）
已知函数f (x)=a[lnx−ln(1−x)]−2x( 0（Ⅰ）若函数f (x)是单调函数， 求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求f (x)=0在区间(0 ，1)内的根的个数．
解（Ⅰ）： f (x)= ． …………(1分)
f (x)为增函数时， f (x)0a2x(1x)，
因为2x(1x) 的值域为(0，12]，故a12； …………(3分)
f (x)为减函数时，f (x)0a2x(1x)，
因为2x(1x) 的值域为(0，12]，故a 0．
综上： a的取值范围是a0或a12 ． …………(5分)
（Ⅱ）当a<0时，函数f (x)为减函数，x0时，f (x)，x1时，f (x) ，
f (x)=0在区间(0 ，1)内有一个根． …………(6分)
当a=0时,f (x)= 2x在区间(0 ，1)内无根． …………(7分)
当a 时，函数f (x)为增函数，x0时，f (x)，x1时，f (x) +，
f (x)=0在区间(0 ，1)内有一个根． …………(8分)
当 时， ，由 =0，可知：
． …………(9分)
因为 ，故 ，从而 ．
00，故函数f (x)在区间(0 ，x1)及(x2 ，1)上为增函数，
类似地函数f (x)在区间(x1 ，x2)上为减函数． …………(10分)
x(0 ，x2]时，f (x)f (x1)=a 2x1故f (x)=0在区间(0 ，x2)内无实根． …………(12分)
又f (x2)综上所述，a0时, f (x)=0在区间(0 ，1)内的根的个数为1．
a=0时, f (x)=0在区间(0 ，1)内的根的个数为0． …………(13分)